Anwendung des sogenannten Vm-iationscalcid' s auf zxoeifache und dreifache Integrale. 157 

 in welelier u =f(x) genommen ist, reJuciren auf 



./' 



—~.d.r= I IC 



Ebenso könne man die Formel 



x" y" 



ff ii • 'h^ • '^^ =fi^" ■ f) —fi:^'" > y') -/(^' > y") +./'(^^' > y') 



dx . dy 



WO u =y (,T , ;/) genommen ist, reducireii auf 



X y 



u 



d ^d^U X = x" ti = y" 



. dy . dx = I ' I M 



dx . dy X = X' II = !/■ 



Auf yieiche Weise könne man die Formel 



■" -' rf d d II 



X >i z 



fff 



J J J d.v.dy.dz 



x' y' z' 



.dt. dy . dx = + f{x" , y" , z") — f{x' , y" , z') — /(x" , y' , z") + f{x" , y' , z\ 

 — f [af. , //" , .3") i- f{x , y' , .-/) + / [x , y- , z" ) — / {x , y' , z'] 



wo u == f (x . y , z) genommen ist, reduciren auf 



X II z 



mddd^u X = x" II = !/" z = z" 



-^-^ dx . dy . dx =1 I I « 

 dx.dy.dz x = x' ;/ = y' 2 = 3' 



-r v 



Und so fort. 



Diese ßezeichnungsweise mag sich allerdings in manchen Fällen als zweckmässig er- 

 weisen; allein wenn man sie im Variationscalcul anwendet, dann leistet sie nicht die nöthi- 

 gen Dienste. Der erforderliche Nachweis mag an folgender CTieichung 



X 1/ ^~ 



3 o\s=.J f f H . \)^l)„l),du . dz . dy . d, 



geliefert werden. Hier ist u eine noch unbekannte Function von x , y yZ\ dagegen R ist eine 

 ganz bestimmte Zusammensetzung der vier Bestandtheile x , y , z , u. Unter z' und s" sind 

 P'unctionen der beiden Veränderlichen x und y, dagegen unter y' und y" sind nur Functionen 

 des einzigen Veränderlichen x zu verstehen. Durch D,. D„ D, r??« bezeichnet Cauchy den 



Differentialquotient ''''''''" ' . Nach Ausführung aller nöthigen Transformationen gelangt der- 



-■■ dx.dy.dz 



selbe (auf Seite 128 und 129 seiner Abhandlung) zu einer Gleichung, welche aws folgenden 

 Theilsätzen besteht: 



5 o^- = -i- I r I R . du 



X := x' !/ = y' Z =: z' 



x" 



._. f "7"" 'T'" D, R . du . dx 



J V = H' z = z' 



X 



