Anwendung des sogenannten Variaiinji.wulcid's auf zweifache und dreifache Integrale. 15 11 



(d H d Y d Ji d Y d Y d d y ^ 



dy dx dz dy d.r. ' dx.dy ) ^ , „ , >- (x , j,) 



und 



(d H d c d 11 d u d .c d_d, c ^ 



dy dx dz dy dx '^^■'^V x , i, . r (x . i,) 



Ferner setze man, 8o lange x und y noch ganz allgemein sind, b , ß . c , y bezüglich statt b{x), 

 ß{x) , c{x-.,y) , j-(x ,1/). Diese Abkürzungen sind natürlich nicht mehr erlaubt, sobald einer 

 oder zwei der Veränderlichen x und y specialisirt sind. 



Hiernach stellt sich ('auchy's Formel 5 auf folgende Weise dar: 



r).s = 



+ -"« . ii(a) ,r(a,fi [«)) • (^ ^a , ß (aj , r ia , ß [a]) •'' a , ;} (a) . )• (a . ^ [a] j • ^ ^''a . ß {«.) . r (i , ß [a]) 



J^a ,t{a), r(a, b [a]) • '^ ^*a , 4 («) , y (a , 4 [«]) + -^^a . 4 (a) , y (a , 4 [a]) ■ '^ ^*a , 4 (a) , y (a , 4 [a]) 



^a , ß {"■),<■ {a , ß [a]) ■ *^ '^'' a , ß (a) .<•(«, ß [a]) + -^^a . ß (a) . f (a , /5 [a]) • ^ Mj , /S (a) , f (a , /9 [a]) 



+ i^a , 4 (a) , <•■ (a , 6 [a]) • OU„^^ ,, („j , c (a , b («]) -^^a . 4 (a) , r (a . 4 [a]; • " ?<a , 4 (a) , <• (a , 4 [a]) 



" d B^ , dB, 



^/ L '' «■< ^x . ß.Y{x,ß) "-^ X 



a 



^ '^■'' -'^ , ,ä , <: (X , /3) ^ ^ ''•" ^ , 4 , . (a: , 4) 



' '^ ^x , 4 , y (i- , 4) 



• ö Mj, , 4 , r (x , 4) 



'^ '^'^ 'x,ß,r{x.ß) ^ ''^ ''x ,/?,)■ (^ , ,}) ''•^' ''.r , 4 , y (. , 4) '^■^ 'x,b,r(x,b) 



^ •^'='x,ß,c{x,ß)'^ ^^ 'x,ß,a(x,ß) ^ '^'= K,b,c(x,b) '^^ 'x.b,.(,x,b)\ 



4(a) 



O M« , ,, , c (a , y) 



{B — ] i-^] +fj?^^l •( ) l.dy 



'a , .V , c (a , y) 



4(aJ 



d Y d du , d c . ^ d,du ^ "1 



— (B"-] ■(-—] +(7? — 1 ■{^-] \-^^V 



^ 'ly K,y,r«^,y)'^ '^' '^,y,r(-,v) ^ '^2' ''a , , , . (a , ,) ^ ''' ^a,,,,.(a.,,)J 



r'''"''^"", dB, r<a,bm 



•^c{a,ß[a]) «./^(«J.- ^•(«,4[a]) 



-^ , ,. ., a, /9(a), z <,. ,. i„n 



'a,/S(n), z ^ , , r 1, - a , 4 (a) , 



c(a , ,}[a]) ' I \ " c(a , 4 [a]) 



