Anwendung des sogenannten VariationscalcuV s auf zioeifache und dreifache Integrale. 163 



In sehr vielen Formeln (namentlich von Seite 50 an) hat Dolaiinay die beiden Theil- 

 sätze 



X ' X 



I) f K, . flY . dr — f K„ . Oll . dx 



X X 



auf folgende Weise in einen einzigen 



(^) 



II) / K . dy . dx 



>) 



zusammengezogen, wo für die obere und untere Integrationsgränze dasselbe Zeichen (x) ge- 

 wählt ist. Durch diese Sonderbarkeit werden viele Stücke unsichtbar, während doch alle 

 unverkiimmert vor die Anschauung gebracht werden sollten, damit man erkenne, wie sie in 

 jedem einzelnen Falle behandelt werden müssen. 



So hat Herr Delaunay (Seite 75) die Variation der ersten Ordnung für das bestimmte 

 Integral 



III) Z^ffK. dy . d. 



nach seiner Weise hergestellt, wo Ä' ein mit den Bestandtheilen 



^ 1 y 1 ^ 1 ,,„ ■< j„ 1 



d z dz d"z d d z il-i 



Ir ' dij ' d:,-^ ' d.,-.dy ' r?;/-' 



versehener Ausdruck ist. Schaut man aber auf die dortige Formel, so sieht man : 



a) Nur der mit dem zweifachen Integralzeichen versehene Theilsatz ist richtig. 



b) Es fehlen alle Theilsätze, die von jedem Integralzeichen frei sind. 



e) Es kommt nur ein einziger mit einem einfachen Integralzeichen versehener Theil- 

 satz vor, während drei mit verschiedenen einfachen Integralzeichen versehene Theilsätze 

 vorhanden sein sollten. 



Hinsichtlich dieser drei Punkte verweise ich auf die betreffende Formel XI, welche ich 

 in der 9'™ Untersuchung (§. 38) hergestellt habe. 



Ebenso hat er (Seite 76) die Variation der ersten Ordnung für das dreifache Integi-al 



V X Y 



IV) Z = I I K . dy . dx . dt 



nach seiner Weise hergestellt, wo K ein mit den Bestandtheilen 



rf,z d^z d^jZ d;z d^d^z d^^d^^z d^z dj,^z d^z 

 ^' ' ^' ' ^ ' ^ ' "*; ' d7 ' ."rf^^ ' "ä"^ ' d„.dj! ' df.dy ' d^ ' d.v.dy ' d^ 



versehener Ausdruck ist. Hierbei ist aber Zweierlei zu erinnern: 



1. In K hätten auch noch die Differentialquotienten der dritten Ordnung mit aufgenom- 

 men werden sollen; denn erst dann können in der Variation Theilsätze erscheinen, welche 

 von jedem Integralzeichen frei sind. Was jedoch 



2. die daselbst wirklich hergestellten Theilsätze betrifft, so sieht man : 



