164 G. W. Strauch. 



a) Nur der mit dem dreifachen Integralzeichen versehene Theilsatz ist richtig. 



b) Es fehlen alle Theilsätze mit einfachen Integralzeichen, dergleichen sieben ver- 

 schiedene Arten vorhanden sein sollten. 



c) Es kommt nur ein einziger mit einem zweifachen Integralzeichen versehener Theil- 

 satz vor, während fünf mit verschiedenen zweifachen Integralzeichen versehene Theil- 

 sätze vorhanden sein sollten. 



Hinsichtlich dieser Punkte verweise ich auf die betreffende Formel XII, welche ich in 

 der 15'™ Untersuchung (§. 68) mitgetheilt habe. 



§. 98. 



Eine unmittelbare Folge der (im Anfange des vorigen §'s) von mir besprochenen Son- 

 derbarkeit der Form, unter welcher Herr Delaunay seine Variationen darstellt, ist nun 

 die, dass er nicht genug Gränzgleichungen bekommt; und desshalb bleibt die Lösung seiner 

 Probleme jedesmal unvollständig. Um aber diesen Ausspruch noch näher zu begründen, soll 

 die Aufgabe vorgenommen werden, welche er (Seite 103) mit folgenden Worten aufstellt : 



„Surface minimum terminde ä une courbe qui est assujettie a rester sur une surface 

 „donnde." 



Das hier zu variirende Integral stellt er unter folgender Form 



V) //■^^-<./.Vn-(l:)' + (|y 



dar. Dabei drängt sich sofort der Gedanke auf: Warum hat Herr Delaunay keine Inte- 

 grationsgränzen angehäugt, und sein Integral etwa auf folgende Weise 



^•■' //""[Vi + (Sf + (%f\ . <i, . ./. 



a « (x) 



dargestellt? 



Weil jetzt die Gränzen b {x) und ß (x) noch unbekannt sind, so müssen sie als variabel 

 behandelt werden; und so etwas thut auch Herr Delaunay, indem er (Seite 104) das 3/ 

 variiren lässt. 



Als Hauptgleichung, welche zur gesuchten Fläche führt, erscheint die bekannte Par- 

 tialdifferentialgleichung der zweiten Ordnung 



YII) {l + q-) .r~2pq .s + (1 + ir) . t = 



durch deren Integration sich für die gesuchte Fläche die Gleichung 



VIII) z = ^{x, y) 



ergibt, in welche zwei willkürliche Functionen von x und y eingehen. 



Nun weiss man, dass zur Bestimmung einer willkürlichen Function mit einem einzigen 

 Veränderlichen auch nur eine Gleichung, dagegen zur Specialisirung einer willkürlichen 

 Function mit zwei Veränderlichen jedesmal zwei Gleichungen nöthig sind'. Schauen wir uns 



' Zur Specialisirung der in z^(p{x,y) eingegangenen zwei willkürlichen Functionen habe icli in §. 43 die vier Gleichungen 

 XXVIII, XXX, XXXII und XXXIII; und zur Bestimmung der beiden Integrationsgränzcn i/ = fi(.r) und i/=i3(r) habe =ch 

 ebendaselbst die beiden Gleichungen XXIV und XXV. 



