Anwendung des sogenannten VariationscalcuVs auf zweifache und dreifache Integrale. 165 



aber bei Herrn Delaunay um, so finden wir, dass er (Seite 104) für die gegebene Fläche 

 die bestimmte Gleicluxng 



IX) Z=^f{x,7/) 



aufstellt, und ausserdem noch als Gränzergebniss die Gleichung 



^ \ dy dx dx ) \ dy dy ) ' ' V dx ) ' \ dy J 



findet'. Von letzterer spricht er (Seite 105) namentlich: „Diese Gleichung ist die einzige, 

 welcher an den Gränzen genügt werden muss". Er formt sie aber noch um in 



XI) ^^.-^ + ^^.^^+1=0 



' dy dy dx <lr 



und an dieser Gleichungsform erkennt man, dass die gegebene und die gesuchte 

 Fläche aufeinander senkrecht stehen. 



Weil sich hier die beiden Gleichungen X und XI ihrem eigentlichen Wesen nach nicht 

 voneinander unterscheiden", so hat Herr Delaunay auch nur zwei Bestimmungsgleichun- 

 gen, nämlich IX und XI; und diese genügen nicht, um 



a) die beiden durch Integration der Hauptgleichung in j- = ^ (a- , y) eingegangenen zwei 

 willkürlichen Functionen zu specialisiren, und 



b) die beiden Integrationsgränzen y ^= b {x) und y = ß (ic) zu bestimmen. 



§. 99. 



In Hen-n Delaunay's Abhandlung begegnen wir (Seite 90 — 97) endlieh einmal einer 

 Stelle, wo der Versuch gemacht wird, auch für Doppelintegrale das Prüfungsmittel herzu- 

 stellen. Zu diesem Ende kehrt der Verfasser (Seite 91) zu dem Integral 



II 



K . dy . dx 



zurück, wo dem iT dieselbe Bedeutung zukommt, wie in Gleichung III des §^.97; und dabei 

 legt er sich 



91) vorerst folgende zwei Beschränkungen auf: 



a) Er lässt z sich um eine Grösse dz ändern, welche nur innerhalb aller Integrations- 

 gränzen (d. h. unter dem doppelten Integralzeichen) von Null verschieden ist, dagegen bei 

 den Gränzen selbst (d. h. ausserhalb des doppelten Integralzeichens) wirklich zu Null wird 

 (man sehe dessen Memoire. Seite 91, ganz unten). Zugleich nimmt er auch 



b) alle Integrationsgränzen als eonstant an (Seite 90, unten). 



' Diese Gleichung X hat liei Delaunay folgende Form : 



\dy dx ' dx) \ dy dy ) \ dx ) ^ dy ) 



Es ist also auch bei ihm der Fall, dass er die partiellen Differentialquotienten ebenso bezeichnet, wie die totalen; und nebst- 



dem beachte man, dass die Quotienten — und —^ aus der Gleichung z = (p [x ,y) und nicht aus der Gleichung s =f{x , y) 



dx dy 



zu entnehmen sind. 

 -' Dass sich die hier mit X und XI bezeichneten Gleichungen in der That nicht von einander unterscheiden , und wie die eine in 

 die andere umgewandelt wird ; darüber vergleiche man mein in §. 43 angewendetes Verfahren , wo ich die Gleichung XXIX in 

 XXXII, und ebenso die Gleichung XXXI in XXXIII umgewandelt habe. 



