166 G. W. Strauch. 



Diese zwei Beschränkungen legt er sich desshalb auf, weil ihm scheint, dass sonst die 

 Untei-suchung zu verwickelt werden könnte (ebenfalls Seite 90, unten). 



S3) Hierauf bringt er (Seite 92) die Variation der zweiten Ordnung, wo aber sowohl o^z 

 als auch alle von d'z abgeleiteten Differentialquotienten fehlen, d. h. er bekommt nur einen 

 Ausdruck von folgender Form 



-")./7[A.-(t)"+-2A, 



d-'dz d d dz 



II XU I O \ ■' ^ 



• • ~r '^■'^3 • — — • r- 



dy' dx.dy dy- dx- 



d'dz rl 3z d~dz djz d''}z 



" * • dy^ • dy + - ^ä • ^fy-, • ^^ i- - ^« • ,/_^, 



d d dz\' d d dz d^,dz dd 3z d,dz 



+ 



(a a o z \- a a oz a oz 



-:f7^) +2B,.-^.^+2B3. 



x y V 



dj: .dy ' " dx . dy d.c- dx . dy dy 



d d 3z d dz dd dz 



+ 2 B, . . k 2 Bg . — — — . dz 



dx.dy dx dx.dy 



t d'öz\' d'dz d 3z didz ddz _ d'dz 



^l^dx^ ' ^ - dx'i dy ' ^ dx^ dx ' * dx^ 



d 3z - d 3z d3z 'l,ß^ 



+ D,.(-^ + ^-^D, .-^ . -^ + 2D3.^.o^t 



' ^ \ dy ) dy dx dy 



d dz ^- d 3z -| 



und nun spricht er : 



Wenn dieser Ausdruck sein Zeichen nicht ändert, während das Sz was immer für eine 

 „Function sein mag; und wenn er zwischen den Tntegrationsgränzen nicht unendlich wird; 

 ,,so weiss man, dass ein Maximum oder Minimum stattfindet. Wenn aber dieser Ausdruck 

 „nicht immer einerlei Zeichen behält, so muss man ihn in mehrere Partien zerlegen, deren 

 „eine immer das nemliche Zeichen behält, während die anderen Partien integrabel sind. Die 

 „Integrale dieser letzteren Partien, zwischen den gehörigen Oränzen genommen, werden Null 

 „sein, weil sie in allen Theilsätzen von den Bestandtheilen 



d dz ddz 



dz , ^- , - — , etc. etc. 



dx dy 



„einen als Factor enthalten müssen. Bei den Gränzen selbst sind aber diese Bestandtheile 

 „Null. Und so (Seite 93) wird man die Variation der zweiten Ordnung auf ein bestimmtes 

 „Doppelintegral reducirt haben, welches bei jedem beliebigen dz immer das nemliche Zeichen 

 „behält." 



S) Nun zerlegt der Verfasser (Seite 93 und 94) den xVusdruck XII in drei Partien, nem- 

 lich in zwei integrable und in eine nichtintegrable. 



Als erste integrable Partie nimmt er ein nach y vollständiges Differential; und dessen 

 nach // hergestelltem Integral gibt er folgende Form: 



,ddz-i ddz ddz ddz rdjz.2 ddz 



™) -['^)^ß~-^ + r^o^^+e[-^) +C-f^dz + ,.dz^ 



Als zweite integrable Partie bringt er ein nach x vollständiges Differential; und dessen 

 nach X hergestelltem Integral gibt er folgende Form: 



