Anwendu7ig des sngenanntenVariationscalculs auf zweifache und dreifache Integrale. 169 



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hinzufügen müssen, welche ein nach x und y zugleich durchlaufendes Differential ist, und 

 nach vollzogener Integration ebenfalls ganz aus allen Integralzeichen hinausgetreten wäre. 

 Dann hätte er nicht zwölf, sondern dreizehn willkürliche Stüc-ke gehabt, wie ich dieselben 

 (in §. 16) aufgestellt habe. 



Schaut man z. B. auf Gleichung IX, welche ich in §.16 aufgestellt habe, zurück; so 

 wird man bei jenen Gränzbedingiingen, bei denen die Ausdrücke 



nicht schon von selbst hinwegfallen, die in X enthaltenen willkürlichen Stücke so verwenden, 

 dass die ganze ausserhalb der Integralzeich^'n befindliche Partie zusammen zu Null wird. 



§. 102. 



Nun kann man in allen Fällen, wo die Integrationsgränzen weder einer Werthänderung 

 noch einer Variation unterliegen, die willkürlichen Stücke so verbrauchen, dass sich das Prü- 

 fungsmittel kurzweg auf das Doppelintegral zurückzieht; und dabei gelangt man zu dem 

 Satze, dass der Umstand, ob ein Maximum oder Minimum stattfinde, von der Negativität oder 

 Positivität des Aggregates XX abhangt. Weil aber dieser Satz in allen Fällen, wo die Inte- 

 grationsgränzen unveränderlich sind, allgemein giltig ist; so muss er natürlich in dem, von 

 Herrn Delaunay behandelten, besonderen Falle, wo die auf die Gränzen bezogenen Varia- 



d^dz d dz . /^.i • • 1 I 1 



tionen dz , , -^^— , etc. zu Null werden, auch noch seine Giltigkeit behalten. 



^ dx ^ dy ^ ' ° 



Sobald jedoch die Integrationsgränzen entweder einer Werthänderung oder einer Varia- 

 tion unterworfen werden; dann kann man die besagten willkürlichen Stücke n^'ht mehr so 

 verwenden, dass das Prüfungsmittel sich auf das Doppelintegral zurückzieht. Wie man aber 

 in solchen Fällen verfahren muss, mag man in den betreffenden Untersuchungen (z. B. in 

 §. 25, 26, 28, und besonders in §. 29; sodann auch in §. 42, 43, 46, 47, etc. etc.) nachsehen. 

 Das dabei nöthige Verfahren ist allerdings von eigenthümlicher Art, hat aber mit keinen 

 solchen Hindernissen zu kämpfen, dass man, wie Herr Delaunay (Seite 90 unten) glaubt, 

 sich davor zu fürchten hätte. 



§. 103. 



Was das Prüfungsmittel bei dreifache* ic. Integralen betrifft, so hat Herr Delaunay 

 weiter nichts gethan, als (Seite 97) eine in Worten abgefasste Regel aufgestellt, welche aber 

 gleichfalls nur so lange giltig ist, als die Integrationsgränzen constant sind. Man könnte also 

 zu dieser Regel ganz die nemlichen Bemerkungen wiederholen, welche ich bereits (in 

 §. 99 — 102) gemacht habe. 



§. 104. 



Ehe ich jodoch die Abhandlung des Herrn Delaunay gänzlich verlasse, will ich hier 



noch einmal (man vergleiche §. 99, 33) hervorheben, dass derselbe versäumt hat, bei den von 



ihm aufgestellten Variationen der zweiten Ordnung auch den Ausdruck d'' z und die \o\\d-z 



abgeleiteten Differentialquotienten mit aufzunehmen. Dieses Versäumniss ist aber ein 



UenksciirUttli der matUem.-niiturw. Cl. XVI. T.i Abhandl. v. NichtmilBl. 



