98 Anton Winckler. 



gegeben. Wie bekannt zeigte dann Lagrange im Jahre 1773, dass die Transformation drei- 

 facher Integrale nach einer Methode geschehen könne, welche sich auf vielfache Integrale im 

 Allgemeinen anwenden lässt. — So umfassend nun durch diese und einige spätere Arbeiten 

 die Frage, soweit sie die Transformation des Elements betrifft, gelöst ist, so sehr mangelt es 

 bis jetzt selbst an jedem Versuche, den zweiten Theil der Frage, nämlich die explicite Dar- 

 stellung des transformirten Doppel-Integrals, in der Art allgemein zu lösen, dass die Anzahl 

 der neuen Doppel-Integrale, in welche das gegebene zerfällt und zugleich die Grenzen der- 

 selben vollständig bestimmt wären. — In Ermangelung einer solchen Lösung mochte man 

 sich nun allerdings damit beruhigen, dass die vollständige Ausführung der Transformation 

 wenigstens in jedem einzelnen Falle sieh werde finden lassen, aber man darf nicht übersehen, 

 dass selbst hierzu im Allgemeinen jeder Anhaltspunkt fehlt, und wohl darum Alles, was in 

 dieser Hinsicht erreicht worden ist, sich auf wenige und sehr specielle Fälle (wie z. B. die 

 Complanation des dreiaxigen Ellipsoids etc.) beschränkt, bei welchen die Grenzen der neuen 

 Doppel-Integrale mittelst geometrischer Betrachtungen, oder durch Verfahrungsarten 

 ermittelt werden, welche derselben unmittelbar nachgebildet sind. Dass sich daraus der in 

 anderen Fällen einzuschlagende Weg oder der Charakter der allgemeinen Lösung nicht 

 erkennen lassen konnte, versteht sich, wie ich glaube, ganz von selbst. 



In der vorliegenden Materie wachsen allerdings die Schwierigkeiten mit jeder Verall- 

 gemeinerung der Grenzbedingungen und mit der Anzahl der Integrationsveränderlichen sehr 

 rasch, und es erscheint zweckmässig auch hier von dem verhältnissmässig Einfachen auszu- 

 gehen, sich also zunächst auf Doppel-Integrale mit explicite gegebenen Grenzen 

 zu beschränken und selbst bei diesen gewisse Voraussetzungen festzuhalten, zugleich aber 

 auch die möglichst allgemeinen Gesichtspunkte der Behandlung zu verfolgen. — Rücksicht- 

 lich dieser letzten Bemerkung glaube ich mich beispielsweise auf eine frühere, im 45. Bande 

 des mathematischen Journals von Crelle erschienene Arbeit beziehen zu können, worin ich 

 die Transformation einer grössern Anzahl doppelter Integrale erörtert habe, welche sich mit- 

 telst einer einzigen neuen Veränderlichen auf Quadraturen zurückführen lassen. Als wich- 

 tigeres Ergebniss jener auf Grundlage gewisser geometrischer Vorstellungen durchgeführten 

 Betrachtungen hebe ich hervor, dass zur Darstellung des transformirten Doppel-Integrals nie 

 mehr als drei andere doppelte Integrale erforderlich sind, obgleich es deren in besonderen 

 Fällen auch weniger, oder wenn man gewisse symmetrische Formen anstrebt, wohl auch 

 mehr als drei sein können, die sich jedoch immer wieder auf diese Anzahl zurückführen lassen. 

 In der vorliegenden Abhandlung nun werde ich die in allen Theilen vollständig 

 bestimmte Darstellung der Transformation des doppelten Integrals 



/ dx I f{x,y) dy 



unter der Voraussetzung herleiten, dass die Veränderlichen x, y gleichzeitig durch zwei andere 

 X, /i ersetzt werden, welche mit jenen in dem durch die Gleichungen 



X — ^'(A, fCj J y = ■*(A 1 y.) 



gegebenen Zusammenhange stehen. 



Die Lösung dieser, wie man sieht, sehr allgemeinen Aufgabe ist bis jetzt weder auf 

 geometrischem, noch auf analytischem Wege gelungen und es scheint auch in der That auf 



