Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel-Integrale. 99 



den ersten Anblick, dass sich, ohne vollständige Specialisirung der Grenzen und der Relationen 

 zwischen den alten und neuen Veränderlichen, eine erschöpfende Beantwortung der Frage 

 nicht werde finden lassen. Der weitere Verlauf der -vorliegenden Arbeit wird indessen zeigen, 

 dass dies gleichwohl der Fall ist. 



Ich werde hierbei den rein analytischen Weg verfolgen, theils weil dieser der Natur 

 der Aufgabe am angemessensten zu sein scheint, theils weil sich auf jenem Wege das Ver- 

 fahren erkennen lässt, welches zum Ziele führt, wenn die Grenzbedingungen in anderer, noch 

 allgemeinerer Form gegeben sind, als sie hier vorausgesetzt werden. Indessen ist es nicht 

 schwierig vielen Theilen der folgenden analytischen Darstellung eine geometrische Deutung 

 unterzulegen. Ich glaube sie also ohne weitere Ausführung dem Leser überlassen zu dürfen. 



Einige an sich bemerkenswerthe Anwendungen des allgemeinen Ergebnisses werden den 

 Schluss dieser Arbeit bilden, wobei ich nicht unterlassen werde die gelegentlich sich ergeben- 

 den, meines Wissens bereits bekannten Resultate, in jedem einzelnen Falle als solche zu 

 bezeichnen. 



Um den folgenden Erörterungen eine völlig bestimmte Grundlage zu geben, müssen 

 einige, die Allgemeinheit übrigens nur wenig beeinträchtigende Voraussetzungen bis zu ihrer 

 ausdrücklichen Beseitigung festgehalten werden. 



1. Bezüglich der Grenzen des Doppel-Integrals wird vorausgesetzt, dass <p° (x) und cp 1 ^ 

 für alle zwischen £„ und c x liegenden Werthe von x einförmig, stetig und endlich bleiben, und 

 dass zwischen £ und ^ kein Werth von x liege, für welchen <p n {x) und <p\ x) einander gleich 

 werden, dass sich daher die Grenzbedingungen stets durch die Ungleichheiten : 



f (x) < y < f 1 (x) 

 f < x < £ 



repräsentiren lassen, indem dann niemals <p n {x) grösser als jc 1 ^ werden kann. An dieser letz- 

 tern Voraussetzung werde ich durchgehends festhalten, weil durch sie alle Betrachtungen 

 wesentlich vereinfacht werden, und weil sie in der That keine eigentliche Beschränkung der 

 Allgemeinheit in sich enthält. Denn gäbe es wirklich zwischen f und ^ einen oder selbst 

 mehrere Werthe von x, für welche (p° {x) und <p l ^ x) einander gleich werden, so könnte man das 

 Grenzenintervall der Veränderlichen y jenen Stellen entsprechend zerlegen, so dass man 

 mehrere Doppel-Integrale erhielte, welche insgesammt der obigen Voraussetzung entsprächen 

 und aufweiche dann die später sich ergebenden Sätze unverändert angewendet werden können. 



2. Die Transformation des Doppel-Integrals und der eben bezeichneten Grenzbedin- 

 gungen durch die neuen Veränderlichen X, /1 geschehe vermöge der Relationen: 



x = A (A| ;lj) ; y = Xfafi 



wobei die Functionen A" (A/t) , Y ßiß) für alle in Betracht kommenden Werthe von k, \i stets ein- 

 förmig und stetig bleiben, ob A, \x einzeln oder gleichzeitig innerhalb eines in Frage kommen- 

 den Intervalls sich ändern mögen, und wobei jene Functionen die Beschaffenheit haben, dass 

 einem bestimmten Werthe von x und einem solchen von y jederzeit nur Ein bestimmter Werth 

 von X und ein solcher von n entspreche. 



