100 Anton Winckler. 



Es ist eine nothwendige Folge aller dieser Voraussetzungen , dass sich aus den obigen 

 zwei Gleichungen niemals eine solche bilden lasse, in welcher entweder blos A und /z oder 

 blos x und y vorkommen, so wie auch, dass es keine Werthe von A und /i gibt, für welche 

 Xn „, zwischen £ und £, liegt, wenn sowohl A als \i aus den Gleichungen : 



9>°.(x iX>ll) ) = f(x ßill) ) = r ftl0 



bestimmt werden. 



3. Die Wurzel: 



/i = /i tl der Gleichung A" (Ai/0 = c 



/i = /i n „ 1 (Ai /jr) = jp ( A (A] ;i) ) 



wird als vollständig bestimmt und als reell für alle diejenigen Werthe von A vorausgesetzt, 

 deren Intervalle durch das Folgende ihre nähere Bestimmung erhalten, und welche mit AJ, 

 A,° , A ° , V bezeichnet werden mögen. 



4. Diese vier Werthe von A sind die einzigen reellen, in jeder Hinsicht vollkommen 

 bestimmten Wurzeln gewisser Gleichungen, und zwar sei: 



X = A,, 1 die Wurzel der Gleichungen 



X = A,° 



•• 



/ = X ° 



x = v 



Es braucht kaum bemerkt zu werden, dass in Folge der oben bezeichneten Voraus- 

 setzungen die Gleichung // = /i 1 keine Werthe von X und //, nämlich X = A 01 , /i = /x" 1 liefern 

 kann, für welche A' (A ß) zwischen £ und Ci fällt. In gleicher Weise können die der Gleichung 

 /i = fi, entsprechenden Werthe A = A 01 , /i = /i 01 keinem zwischen £ und ^ liegenden Werthe 

 von A" (iirt entsprechen. 



2. 



Ausser den so eben bezüglich der Functionen fV), jc^ , A (Ai/l) , Y (Aj ^ gemachten Annah- 

 men bedarf es keiner weiteren Beschränkungen. Dagegen müssen des Folgenden wegen alle 

 diejenigen Unterscheidungen bemerkt werden, welche sowohl bei der blos partiellen als bei 

 der gleichzeitigen Änderung der beiden Veränderlichen aufzufassen sind, und welche insbe- 

 sondere bezüglich des Wachsens oder Abnehmens der Functionen A' (Awi) , Yß a) , /i u . fi 1: /i°, /i 1 

 in dem ganzen zur Sprache kommenden Umfange eintreten können. 



Es seien dX, d/x an sich positive, sehr kleine Zuwachse der Veränderlichen A, /i, deren 

 Beziehung zu einander in folgender Weise festgesetzt wird. Man lasse nämlich in A" (A /i} und 

 Yß i/L) einmal blos A um ±dX, und dann blos /x um + d\x sich ändern und setze voraus, es 



