Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel-Integrale. 101 



hänge A' (A/i) dergestalt von X und /i ab, dass SA, d/j. gleichzeitig positiv werden, wenn man 

 ihr Werthverhältniss gemäss der Gleichung 



bestimmt, so können bei der andern Function Y^^ offenbar nur die folgenden zwei Fälle 

 eintreten, nämlich dass entweder: 



oder dass 



-* (A + 8?., fi) ^ -*(A, ,i + fy) 



wird, wobei alle Doppelzeichen correspondirende sind. 



Lässt man dagegen einmal blos X um ± öX und dann blos /j um + d/i sich ändern, und 

 setzt man voraus, es hänge nunmehr A* (A M) in der Art von X und /i ab, dass d!A, $z positiv aus- 

 fallen, wenn man sie der Gleichung 



A(A + ÄA,/u) = ^(k, ii + 5p.) 



gemäss bestimmt, so können bei der Function Y {K/i) , deren Variable immer zu gleicher Zeit 

 dieselben Änderungen annehmen, ebenfalls zwei Fälle eintreten, indem nämlich entweder 



JfA + oA./O ^ J (A, /! + »» 



oder aber 



-* (A + JA, ;l) ^ -* (A, ,/. + o» 



sein kann, wo auch hier die Doppelzeichen insgesammt wieder correspondirende sind. 



Es ist klar, dass hinsichtlich der partiellen Änderung der Variabein andere Fälle, 

 welche von den vier angeführten wesentlich verschieden wären, nicht möglich sind. 



Ich werde nun die Eelationen der Werthe von A' {A ;1) , Y (A] /t) unter dem Gesichtspunkte 

 betrachten, dass darin beide Veränderliche sich gleichzeitig ändern, und zwar indem a 

 als irgend eine bestimmte Function von X gedacht wird. Dabei fasse man alle über- 

 haupt möglichen Beziehungen jener Functionswerthe in das Auge, welche sowohl bei blos 

 partieller als gleichzeitiger Änderung von X und /j eintreten können. — Man nehme zu dem 

 Ende an, es sei dX die sehr kleine Änderung von X, in Folge deren sich /x um d/x ändert, 

 oder also, es sei d/i das Differential von \i genommen nach X. 



Um alle hierbei möglichen Fälle zu umfassen, gehe man von den beiden bezüglich der 

 partiellen Änderung so eben getroffenen Unterscheidungen aus und verfahre wie folgt. 



3. 



Für den ersten Fall nehme ich wieder an, es hänge A' (//1) so von X, /i ab, dass dX, ö/i 

 positive Werthe erhalten, wenn man einmal X + dX und dann ;i ± dji an die Stelle von X, /z, 

 und die beiden entsprechenden Werthe von A einander gleich setzt ; auch setze ich sofort 



Y Y — Y AW 7?(°> 



was immer möglich ist, da die Taylor'sehe Entwickelung als Bedingung für die vier Zuwachse 



d?,o/i = dXd/i -p djid\ 



die Gleichung 



