Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel-Integrale. 105 



Hierin ist Alles enthalten, was nun im Folgenden über die Functionen X, Y ausser den 

 im Art. 1 gemachten Annahmen, zu berücksichtigen ist. — Es drückt offenbar den Zusammen- 

 hang der Zeichen der Functional-Determinante A , der partiellen Differentialquotienten und 

 der Zuwachse der Veränderlichen irgend zweier Functionen aus, welche gemeinschaftlich 

 von denselben zwei veränderlichen Grössen abhängen. Ohne diesen Zusammenhang zu 

 berücksichtigen wäre es nicht möglich das Zeichen der Determinante A allgemein zu fixiren, 

 welches bekanntlich die Eingangs bezeichnete Euler'sche Transformation unbestimmt lässt. 



7. 



Um die folgenden Erörterungen auf genaue Bestimmungen zu gründen, müssen ferner 

 noch alle, hinsichtlich des Wachsens und Abnehmens der Functionen : 



möglichen Fälle in Betracht gezogen werden. — Wie sich nun im weitern Verlauf heraus- 

 stellen wird, kommt es hierbei auf die Änderungen dieser zwei Functionen in der Nähe der- 

 jenigen Werthe einer der beiden Veränderlichen, z. B. jener /i an, für welche die Ungleich- 

 heiten des Art. 1, an der Grenze ihrer Giltigkeit, in Gleichheiten übergehen, für welche also 

 entweder: 



9°(^J = }(*,,) oder ^(A' (Ai/t) ) = 7 (V) 



wird, und wofür (Art. 1) die Veränderliche li als Function von X die Werthe /x° und li 1 erhält. 

 Da nun vermöge der Bedingung (Art. 1) : 



? (A^,)< 1W)<? 1 (^)) 

 jederzeit <p°(X) kleiner und <p l {X) grösser als Y bleiben muss, so ist leicht zu sehen, dass im 

 Ganzen nur die folgenden vier Fälle möglich sind: 



-* (», /t« + 3p«) ^> <f \Xß t pO + Sil")) 

 Y{X,pf-ipf) < 9 l fä{h ff - »>')) 



Yß t n« _ m*) ^> 9 \A-% p? — Sffi)) 



i(A, pf + <>>') < 9 \\k h* + wv 



Y(i, p» — spf) ^> 9 (-^(A, /»» - dp.«)) 



Y{\,pt-»py) <L 9 (A ( a,^i _„>■)) 



i(A, ^o + 3p«) > <f (A (A| ß0 + y>)) 



J(A, /*• + Spf) <C 9 \-^-{K ff + «>')) 



II 

 III 



IV 



wobei <?/i°, d/x 1 an sich positive, sehr kleine Zuwachse bezeichnen, deren nähere Bestimmung 

 vorbehalten bleibt. 



Welches aber auch die Werthverhältnisse jener Zuwachse seien, so folgt jedenfalls, dass 

 die Erfüllung der obigen vier Bedingungen, hinsichtlich der Werthe der Veränderlichen \i 

 davon abhängt, dass: 



p > fi° , Li < /i 1 bei I 



tt < n° , n > /i 1 bei II 



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