Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel-Integrale. 107 



und wenn man nun, wie in Art. 4 die Verhältnisse der Zuwachse gemäss der Gleichung: 

 \ y _ x 



^(A + äA, ß*) — ■ -*»-(A, ß* + 3ß*) — ^(A+rfA, p* + dß*) • 



bestimmt, so kann man auch schreiben: 



• • 4, , B :H 



Y 



(A+rfA, ß*+dß* 



<P* (-A(A, ß*+3ß*)) 



Hieraus lässt sich schliessen: 



Ist 



so folgt: 

 Ist dagegen 



so ist: 



Y [X , ß *+dß*) ^ 9 (A (A , ß*+3 ß *)) 



^(X±dX,ß*+dß*) ^ -*(A, ß*+5ß*) 



i(A, ß*+3ß*) ^ f (-"-V, ß*+Sß*)) 



-^(A+rfA, ß*+dß*) >• -*(A, m* + »V) 



Oa. 



Andere Fälle als die eben betrachteten lassen sich nicht angeben. 



9. 



Mit Hilfe der so eben bemerkten Sätze kann man die vier Relationen des Art. 7 in 

 folgender Weise umformen. Verbindet man nämlich die Relationen A*, 7?* und C!*, sodann 

 A.jp B^ und CL mit jenen des Art. 7, so ergibt sich, wie leicht zu sehen: 



Ist X {Kß) so beschaffen, dass 



X — X - ■ X 4^ 7?(°> 



gesetzt werden kann, und ist entweder 



*{\±sx,ß) ^ X(x,ß±üß) A 



oder: 



-*(A + <iA, ß) ^ -*(Jl, ß±3ß) " 



so werden die vier Fälle des Art. 7 durch die folgenden ersetzt: 



J -(X + d\,ß ! > + dß a ) < -~ x (A, ß» + 3ß«) -^ j -" 



Y ~~> V AM W> 



-*(A — rfA, ßi-dß 1 ) -^ J (A,,/i — V) ^ ' 



Y ^ Y AM 7? (,) 



1 (X-dk,ß« — dß") < - -* (A, ,tt°— 3ß«) -«• 5 -^ 



■* (A + rfA, /t' + dß<) -^ ± (A, /n' + 5^>) -"■ ? ■ £J 



Y ^ V AM JIM 



J (A — rfA./i" — dß") <-- - £ (A, p° — <5/z») -<* i ■" 



-*(A -rfA, ß'-dßt) ^ -*(A, /!' — fy>) -^ 5 -^ 



Y ^ Y AM RM 

 - l {).+d)i,ß<> + dß<>) <-. ^n,ßi+3ß«) -"• > -D 



-* (A + rfA, ß< + rf/t') ^* -*■ ß, p? + 8ß<) -* 1 > ■" 



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IV 1 ' 



