Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel- Integrale. 109 



dass in der Function Y {Kll) die Veränderliche ji nicht kleiner als // werden dürfe. Wo aber 

 Li 1 — o/i 1 vorkommt, da besteht die entsprechende Bedingung nur für Werthe von /z 1 , welche 

 nicht grösser als /i 1 sind. — U. s. f. 



10. 



Ich komme nun zur nähern Betrachtung der zweiten Bedingung, durch welche die 

 Grenzen des Doppel-Integrals gegeben sind, und welche heisst: 



Co <C ^(A,/i) <C Ci 



Hier ist die Sache viel einfacher, denn man braucht blos zu untersuchen, wann die bei- 

 den Functionen tt , /i x , welche der Form nach ganz dieselben sind und sich überhaupt nur 

 durch die Constanten £ u , ^ unterscheiden, der obigen Bedingung gemäss, entweder die obere 

 oder die untere Grenze der Veränderlichen jj. bilden. Beachtet man zu diesem Zwecke, dass 

 nach der im Art. 1 angenommenen Bezeichnung: 



und dass stets 



bleiben soll, so kann man in folgender Weise bestimmen, in welchen Fällen ji und \i x die 

 grössten oder die kleinsten von allen zulässigen Werthen der Veränderlichen /x sind. Nun ist 

 es eine unmittelbare Folge der Voraussetzungen (2) des Art. 1, dass immer gleichzeitig it 

 der kleinste und ß t der grösste, oder umgekehrt /i der grösste und /i { der kleinste jener 

 Werthe sein müsse, dass also etweder: 



oder: 



■X-ß, fr-»?,) > c„ un( l A (A/i[+u>i) < £j 



ist. Entwickelt man die Functionswerthe nach der Taylor'schen Reihe, so ergibt sich, dass 

 entweder : 



^^) . fy o > o und ^^ . <fc > 



oder: 



— . c?/i < und — j-^ .dfx 1 <0 



Daraus aber folgt sogleich: 



Es muss /i > ju und /i <; /i, , oder also /i < /i! sein, wenn — - positiv, 



dagegen muss jx < fi und /i > /i, , oder also fi > /ij sein, wenn — negativ 



ist. Es versteht sich von selbst , dass diesen Forderungen durch Werthe von A entsprochen 

 werden kann und muss, welche innerhalb bestimmter Intervalle liegen. 



Bezüglich der Werthe von F (Aiftp±w , Y {KtM±3tM) welche den oben zur Sprache gebrachten 

 Werthen von X correspondiren, können nun wieder alle Fälle eintreten, welche in der Tabelle 

 des Art. 6 unterschieden worden sind. Man würde die Zusammenstellung aller dieser Fälle 



