Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel-Integrale. 111 



welchem man von einem Werthe der Veränderlichen X, der eine jener Ungleichheiten realisirt, 

 ausgehend, zu dem Werthe, der diese Ungleichheit in eine Gleichung verwandelt, gelangen 

 muss. 



Angenommen z. B. es sei /i < // die in dieser Eichtung zu untersuchende Bedingung, 

 und es sei irgend ein derselben entsprechender Werth für die Veränderliche X gewählt, so ist 

 es die Frage, ob man von diesem Werthe ausgehend, zu grösseren oder kleineren Zahlen- 

 werthen übergehen müsse, um zu demjenigen zu gelangen, für welchen genau /x = fi° wird. 

 Auf welche Weise sich diese Frage in jedem einzelnen Falle beantworten lässt, wird sich 

 deutlich genug aus der nähern Erörterung des oben gewählten Beispiels erkennen lassen. 



Die vor Allem nothwendige Unterscheidung bezieht sich auf das Zeichen von — : das- 



00 dfi 



selbe ergibt sich wie folgt. 



Da die unabhängig Veränderliche /1 in dem Intervall der Ungleichheit /i <; // liegen 

 soll, so ist nothwendig: 



H > fi und n < fi° 



und es muss also in Folge der erstem Bedingung nach Art. 10 . . . — positiv sein. 



Diese Bestimmung bietet sofort ein Mittel dar, die ursprüngliche Ungleichheit jx < // 

 durch eine andere zu ersetzen; denn es muss jetzt offenbar auch: 



oder also: 



sein, und es geht diese Ungleichheit mit der ursprünglichen gleichzeitig und für denselben 

 Werth von X in eine Gleichung über. Damit nun aber dieser Übergang stattfinde, muss offen- 

 bar X sich so ändern, dass X {K ß<l) abnimmt. 



Um die Art dieser Änderung zu erfahren, bemerke man, dass das Abnehmen von X (!ii ^ 

 auch durch eine blosse negative Änderung — dfi von fi° hervorgerufen werden kann, dass 

 nämlich : 



Lässt man nun aber X um — dX und in Folge dessen jj. um — d/x° sich ändern, so kann 

 man fragen, welches Zeichen die Änderung dX an sich haben müsse, damit A (A)Al „_^ 0) sich 

 durch A' (A _ rfAwi o_^o) ersetzen lasse, oder also, damit: 



Xß — dX, /*«— dp") == -*■*-(/, p« — Sp«) 



werde. Um diese Frage vollständig zu beantworten, muss man vor Allem bis zur Unter- 

 scheidung der möglichen Zeichen von — zurückgehen, was dadurch geschieht, dass man ein- 

 mal annimmt, es sei X (A _ Wjrt und dann X (]i+iKllV) fähig den Werth X {X< ^_, V) darzustellen, so 

 dass man entweder: 



Y Y Y /1 (0) 7? (0) 



^(A — 8X,ß1 -^-(A — dX, pO-dp«) -^(X, p«— 5p«) Jn. , u 



oder aber: 



-"-(A+ÄA, p«) = -^-(A + rfA, ß<> — dp.") == -"-(A, /i°— fy ) A , _D 



hat. - — Da sich aber auch hieraus noch nicht die eigenen Zeichen von dX in ihrem not- 

 wendigen Zusammenhange mit dem Zeichen der Determinante A ergeben, so 



