Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel-Integrale. 113 



Die Ungleichheiten: ji ^ /x x und// ^ p 1 , insbesondere deren Übergang in Gleichungen, 

 blieben hier ganz unberücksichtigt, wofür der Grund nach den Voraussetzungen des Art. 1 

 leicht einzusehen ist. Was zunächst die Gleichung /i = /x x betrifft, so sind darin fi und o, 

 Functionen von durchaus gleicher Form, welche sich überhaupt nur durch die Constanten 

 £ und £j unterscheiden. Jene Gleichung, welche ihren Ursprung in den beiden Gleichungen: 



-* (A, ix) = C 1 -A*ß, fi) — Si 



hat, ist also, wie man sieht, im Allgemeinen selbst eine Unmöglichkeit. 



Die zweite Ungleichheit // ^ /i l kann in Folge der Voraussetzung des Art. 1 eben so 

 wenig in eine Gleichung übergehen. Denn da es keinen zwischen f und f x liegenden Werth 

 von x gibt, für welchen j?° w und y>\ x) einander gleich werden, so gibt es auch keinen der 

 Gleichung 



genügenden zwischen | und £ t liegenden Werth von A' (A/t) . Ein solcher Werth, er möge c 

 heissen, müsste aber existiren, damit aus den Gleichungen : 



£ = X{\,t) 



die Werthe A = A 01 , \i = fi 01 , welche der Gleichung /i° = /j. 1 entsprechen, berechnet werden 

 könnten. Es können daher niemals gleichzeitig jene Werthe im Bereiche der Integrations- 

 werthe, — wenn gleich der eine ohne den andern — vorkommen. 



An diesen Bemerkungen muss im Folgenden durchaus festgehalten werden. 



13. 



Aus der im vorigen Artikel angeführten Zusammenstellung lässt sich nun, in Verbindung 

 mit jener des Art. 9, für alle Fälle, die hier in Frage kommen können, der Zusammen- 

 hang zwischen den Vorzeichen der Determinante A, den Grenzbedingungen 

 für die Veränderliche /i und den Grössenverhaltnissen der hier ausschliess- 

 lich in Betracht kommenden vier Wurzelwerthe X °, V, X, , V herstellen. Wie 

 sich derselbe in jedem einzelnen Falle finden lässt, ist nunmehr nachzuweisen; es wird aber 

 vollkommen hinreichen, wenn die Art der Herleitung in zwei Fällen vollständig ausgeführt 

 wird. 



Als ersten Fall will ich jenen I (1) des Art. 9 annehmen, bei welchem die Bedingung A {1) für 

 /x°, und ebenfalls A {i) für /x 1 stattfindet, wofür ausserdem nach Art. 7 



[i > fi° und /i <; /i 1 



sein muss. Das Zeichen von A ist aber hierdurch keineswegs schon bestimmt, es kann sowohl 

 positiv als negativ sein. 



Angenommen es sei A positiv, so ist klar, dass in der Zusammenstellung des Art, 12, 

 und zwar in der 



Horizontalreihe (1) . . . . fi* = // ) 

 „ (3) . . . . /** = fi 1 ) 



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