Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel-Integrale. 115 



Es muss daher A von demjenigen Werthe, für welcher // << fi ist, bis zu demjenigen, 

 wofür fi° = /i wird, abnehmen, so dass A ° der kleinste zulässige Werth von A ist. 



Dagegen muss A von dem Werthe wofür /x 1 >> \i x bis zu jenem, wofür /x 1 = fi 1 wird, 

 wachsen, wonach also Aj 1 als der gross te aller zulässigen Werthe von A erscheint. 



Man sieht hieraus, dass unter den Bedinguugen I (1) und A m , A (1) und wenn A negativ 

 ist, gleichzeitig: 



fi < /x 1 

 p? < p? 



V > a; > v > a ° 



sein muss. Hinsichtlich der Vertauschung der Zwischen werthe Aj°, Aq 1 gilt hier dieselbe 

 Bemerkung wie in dem, für das positive Zeichen von A betrachteten Falle. 



Um den Vorgang bei den hier zu treffenden Bestimmungen, welche für alles Folgende 

 durchaus massgebend sind, vollständig darlegen zu können, wähle ich noch einen zweiten 

 Fall, nämlich denjenigen, welcher der Bedingung III (1) des Art. 9 entspricht, und in welchem 

 die Relation B w für /i°, und B {i) für /z 1 besteht, wofür also nach Art. 9 jederzeit : 



LI < fl°, fi < /x 1 



sein muss. 



Auch hier ist die Betrachtung sowohl für das positive als das negative Vorzeichen von A 

 durchzuführen. 



Angenommen es sei A positiv, so muss in der Tabelle des Art. 12 und zwar in der 



Horizontalreihe (2) . . . . fi* = ii° ) 



gesetzt werden. Zugleich ergeben sich daraus als nothwendige Folge der gemachten Annahmen 

 die Bedingungen: 



/i° > jx 1 . . . . Änderung von A positiv, 

 /i 1 > /i, . . . . „ „ A negativ. 



Der Werth von A, für welchen /x° > jx x ist, muss also wachsen, um denjenigen zu errei- 

 chen, für welchen /i° = \x x ist. Hiernach erscheint X° als der grösste aller derjenigen Werthe von 

 A, für welche, wie bedungen ist, die Ungleichheit /x° >> \x x nicht in ihr Gegentheil umschlägt. 



In ganz ähnlicher Weise ergibt sich, dass A/ der kleinste aller zulässigen Werthe von 

 A ist. 



Was nun das Grössen verhältniss der beiden anderen Werthe X °, X l betrifft, so ist das- 

 selbe hier, im Gegensatze zu den beiden zuerst betrachteten Fällen, kein ganz unbestimmtes, 

 sondern es muss hier X a ° >• A,, 1 sein. Um dies zu zeigen, gehe ich von der Bemerkung aus, 

 dass durch die Ungleichheiten 



P < Mo > P < P° , P > Pi > I 1 < P 1 



