Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel-Integrale. 117 



Nimmt man A negativ an, so folgt aus Art. 12: 

 Horizontalreihe (3) . . . fi* = // also fi° > fi„ - . . Änderung von X positiv, 

 (3). . .f=/i 1 „ /i I >/i - • • » » A negativ. 



Zugleich folgt, dass A ° der grösste und V der kleinste zulässige Werth von A und: 

 /i > /j , /* < /i, . ju < /i° , /i < /J 1 



ist. 



Was aber das Grössenverhältniss von tf, A/ betrifft, so ist dasselbe auch hier nicht ganz 

 willkürlich, was sich auf folgende Art zeigen lässt. 

 Da nämlich: 



bleiben soll, so muss noth wendig: 



V > A > V 



Da ferner: 



£o <C A (A| p i) < c, 

 so muss: 



Ao 1 < A < V 



sein. Fiele nun V zwischen V und A,°, so müsste es nothwendig zwischen V und X,° einen 



Werth geben, wofür Z (A> rt = Z (A] ^ oder also // = /V würde, was gegen die Voraussetzung 

 wäre. 



Alles zusammengefasst hat man also das Resultat, dass bei dem Falle III (1) , B {1) , B (2) : 



für A negativ: /i > /i , /i < fi° , /J < lh , /* < /^ 



und : 



V > A/> > A/ > Ao 1 



Ich füge schliesslich noch die folgende Bemerkung bei: 



In allen aus I (1) und II (I) entstehenden Fällen ist entweder die Bedingung /i 1 > p° oder 

 jene /V < // ohne Weiteres schon vorgeschrieben, so dass man nicht zu besorgen braucht, es 

 könnte eine Wurzel A 01 der Gleichung // = /i 1 in das Bereich der Werthe A °, V, A/, A, 1 fallen; 

 wesshalb hier eine Vertauschung der zwei, zwischen die äussersten Grenzen fallenden, 

 Werthe von ). stattfinden kann und muss, wenn man alle möglichen Fälle berücksichtigen will. 



Bei den aus III (1) und IV (I) entspringenden Fällen jedoch besteht eine solche Bedingung 

 /i 1 > /i° oder /i 1 < fi° nicht schon von selbst und sie muss daher erst besonders eingeführt 

 werden, was auf oben bemerkte Art zu geschehen hat. Hierdurch aber fällt, wie gezeigt 

 worden ist, die Vertauschung der beiden Zwischenwerthe der Grenzen weg. 



14. 



Nach diesen Auseinandersetzungen wird die folgende, der Übersicht wegen in die Form 

 einer Tabelle gebrachte Zusammenstellung der auf die Fälle I (I) , II (1) , III (1) , IV W sich bezie- 

 henden Resultate, welche ich in extenso anführen zu müssen glaube, keiner weitern Erklä- 

 rung bedürfen. 



