Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel-Integrale. 



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Einmal dürfen, wie gezeigt wurde, in IIP' und IV (I) die inneren Werthe der X nicht ver- 

 tauscht Werden, so dass dadurch 4 Combinationen wegfallen; sodann sind diejenigen Ver- 



bindungen, worin 



; l ; l . ; l ) 1 . 10 ; o . ; o ; o 

 A 1 , A u , A ü , /ij , A 1 , A , A , Aj 



resp. die grössten und kleinsten Werthe darstellen, überhaupt gar nicht zulässig, wodurch 

 abermals 4 Combinationen wegfallen. Die weiteren 4 Combinationen wären nun diejenigen, 

 welche in der letzterwähnten durch Versetzung der inneren Glieder entstehen würden. Es 

 sind also in der That 12 solcher Combinationen, in Folge der Bedingungen der Aufgabe, ganz 

 unzulässig und desshalb in der Zusammenstellung nicht vorhanden. 



In durchaus analoger Weise kann man nun auch bezüglich der Fälle I t , IIj , IIIj , IVj 

 verfahren und sich die entsprechende Übersicht entwerfen. Man kann sich jedoch dieser Mühe 

 durch die Bemerkung entheben, dass für beide Veränderliche X, \i genau dieselben Bedin- 

 gungen wieder auftreten, so dass es, mit alleiniger Ausnahme der Beihenfolge, blos eine 

 Wiederholung des bereits Angeführten wäre, wollte ich auch für die bezeichneten Fälle die 

 Zusammenstellung mittheilen. 



Damit man jedoch die Fälle übersichtlich vor sich habe, in welchen dieselben Bedin- 

 gungen zum Vorschein kommen, und damit man sich in jedem einzelnen Falle von deren 

 Identität leicht selbst überzeugen könne, füge ich die folgende kleine Tabelle hinzu. 



15. 



Von jetzt an fallen, wie man sieht, alle Unterscheidungen weg, welche sich nicht unmittel- 

 bar auf die 16 Fälle der im vorigen Artikel enthaltenen Zusammenstellung beziehen. Aber 

 auch diese Fälle sind keinesweges so verschieden, dass sie sich theilweise nicht schon zum 

 Voraus auf einander reduciren Hessen. 



In der That lässt sich ohne Weiteres einsehen, dass jedesmal die zwei Fälle unter sich 

 identisch sind, welche in der bezeichneten Tabelle unter: 



1 und 8 : 2 und 7 ; 3 und 6 ; 4 und 5 



sodann unter: 



9 und 16 



10 und 15 



11 und 14 



12 und 13 



angeführt wurden, und zwar aus dem einfachen Grunde, weil bei jedem dieser Paare das 

 Zeichen von A dasselbe ist, während sowohl /x°, fi 1 , /i , /ij zu /j, als auch A„°, a ] , a/, V zu ein- 

 ander durchaus die entgegengesetzten Stellungen einnehmen. In Folge dieses Gegensatzes 



