120 Anton Winckler. 



nehmen die entsprechenden doppelten Integrale zweimal das negative Zeichen an, bleiben 

 aber gerade darum in jeden Fall identisch dieselben. • 



Hiernach hat man es also nur noch mit acht Fällen und zwar mit I (1) und III (1) , oder 

 auch mit II (1) und IV (1) zu thun. Welches dieser zwei Paare man wählt, ist ganz gleich- 

 giltig. 



Die Fälle, welche je einem dieser Paare entsprechen, liessen sich leicht auf die Hälfte 

 reduciren durch eine Bemerkung, welche näher angedeutet zu werden verdient. Ich will dabei 

 das Paar I (1) , III (1) in das Auge fassen, dann kann man sich leicht überzeugen, dass jedesmal 

 die Fälle: 



1 und 3 ; 2 und 4 ; 9 und 11 ; 10 und 12 



zu demselben Eesultate führen müssen. In jedem dieser letztern Paare hat nämlich A einmal 

 das positive und einmal das negative Vorzeichen, während die Bedingungen für [i jedesmal 

 genau dieselben sind, so dass in dieser Hinsicht die Doppel-Integrale dieselbe Form erhielten. 

 Nun muss man sie aber, wie sich später ergeben wird, immer mit dem negativen Zeichen 

 nehmen, wenn A negativ ist. Dieses Zeichen wird aber wieder aufgehoben und daher Alles 

 auf den Stand wie für positive A gebracht, weil in den Fällen eines negativen A die Relationen 

 zwischen A °, A/, X ± °, V durchgehends die umgekehrten von denjenigen sind, welche den 

 Fällen für positive A entsprechen. Hiernach reducirt sich also in der That die Anzahl der 

 näher zu erörternden Fälle auf vier, als welche man z. B. jene 1, 4, 10, 11 wählen könnte, 

 die insgesammt einem positiven A zugehören. Ich werde jedoch von der hierdurch ermög- 

 lichten Abkürzung keinen Gebrauch machen, einmal um thatsächlich die der Sache nach 

 bestehende Übereinstimmung aller in I (1) und III (1) enthaltenen Fälle, und zwar nicht nur wenn 

 A. positiv, sondern auch wenn es negativ ist, zu zeigen; sodann aber auch um alle 12 Formeln 

 ausführlich vor sich zu haben, welche den 12 zwischen A °, V> V> V möglichen Grössenver- 

 hältnissen (Art. 14) entsprechen. Ich bemerke hierbei noch, dass durch das Hinzukommen 

 von 6 weiteren Gleichungen der Kürze kein Eintrag geschieht, indem dieselben in der für 

 den spätem Gebrauch zweckmässigeren Darstellungsart des Doppelintegrals erscheinen, und 

 also ohnehin durch Umformungen abgeleitet werden müssten, wenn solches nicht schon hier 

 geschehen wäre. Alle sich ergebenden Endresultate werde ich jedesmal auf einander zurück- 

 zuführen suchen, um einen Schluss auf die wesentliche Übereinstimmung aller dieser Resul- 

 tate unter sich ziehen zu können. 



Im Hinblicke auf die zahlreichen Reductionen, welche in diesem und dem vorigen Artikel 

 stattfanden, wird kaum die Vermutbung entstehen, als hätte sich die Betrachtung auf Um- 

 wegen bewegt. Denn es unterliegt wohl keinem Zweifel, dass alle denkbaren Fälle nicht nur 

 im Allgemeinen bezeichnet, sondern so ausführlich dargelegt werden mussten, um mit Sicher- 

 heit erkennen zu können, in wiefern sie sich auf einander zurückführen lassen und welches 

 die Hauptfälle sind, womit das Weitere sich beschäftigen soll. 



16. 



Die nähere Untersuchung der Fälle, auf welche so eben alle übrigen zurückgeführt 

 worden sind, leitet nun direct zur Lösung der ursprünglich gestellten Frage. 



