Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel- Integrale. 121 



Nur eine kurze Bemerkung möge vorausgehen. Durch Einführung der neuen Veränder- 

 liehen l. fi an Stelle der alten x, y geht das gegebene Differential f(x,y) dx dy bekanntlieh 

 über in: 



(dX dY dX dY\ n , T-r- ~~. -. , 

 — . — . — I f (X, I dl du 

 d,i. dk dX dp) J v ' ' ' 



wobei, wie zuerst Euler a. a. 0. gezeigt hat, dasjenige Zeichen zu wählen ist, für welches 

 der Factor 



+ (— . -t r • — ] = ± A 



Vrf/jt d). dX dß ' 



(dX dY dX dY^ 



Wfi d). dl dß . 



positiv wird. Diese Zeichenbestimmung sollte scheinbar dem speciellen Falle vorbehalten 

 bleiben, und bildet offenbar den schwierigem Theil der Frage, ohne dessen Erledigung an 

 eine allgemeine Lösung derselben nicht zu denken war. Durch das Vorhergehende ist nun 

 diese Zeichenbestimmung in die engste Verbindung mit den Grenzen des Integrals, resp. mit 

 den Grössenverhältnissen der Wurzeln gewisser Gleichungen gebracht und zwar ist das trans- 

 formirte Differential für ein an sich positives A, also in den Fällen 1, 4, 5, 8 zu setzen 

 = + f(X, Y) . hdl djx. Wenn dagegen A an sich negativ ist, also in den Fällen 2, 3, 6, 7, 

 so ist jenes Differential zu nehmen = — f (X, Y) , A dl dß. 



Dies vorausgesetzt beginne ich nun mit dem ersten Falle des Art. 14, für welchen, 

 bezüglich der Veränderlichen p. die Bedingungen: 



p. > /i° , u < /i 1 . u > fr , n < /ij 



gegeben sind. — Vor Allem ist nun klar, dass diesen Bedingungen im Ganzen auf die folgen- 

 den vier Arten Genüge geschehen kann, nämlich 



j«o < / < /i < fr < \>> • • • • (1) , (l 1 ) 



fr <l*<ß </i J <ßx, ■ • • (2) • (4 1 ) 

 f*° < fr < /i < V 1 < fr ■ ■ ■ ■ (3) . (3 1 ) 

 H° < fr < fi < fr < /i 1 • • • • (4) , (2 1 ) 



Hierzu kommen noch die weiteren Bedingungen: 



V > lo° > V > V • • • (l) 

 oder aber: 



V > V > V > v (i 1 ) 



Angenommen nun die erstere (7) finde statt, so leuchtet ein, dass man, um die Gesammt- 

 heit aller Werthe von l und /z zu erschöpfen, welche zulässig sind, so lange die Ungleich- 

 heiten (1) unverändert bleiben, die Veränderliche fi nur diejenigen Werthe annehmen lassen 

 darf, welche zwischen /x° und \i x liegen. 



Was nun aber die Gesammtheit der zulässigen Werthe von l betrifft, so muss man 

 bemerken, dass die Bedingung fi° <[ fr nur so lange stattfindet, als l grösser ist, als der 

 kleinste aller, derselben noch entsprechenden Werthe, nämlich grösser als 1°, dass man aber 

 von diesem Werthe an , die Veränderliche l nur so weit wachsen lassen darf, als in den 

 übrigen Gliedern von (1), also in den Beziehungen: 



fr < fr , fr < ft 



Denkschriften der malhem.-naturw. Cl. XX. ]id. Abhandl. v. Nichtmitgliedern. q 



