Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel-Integrale. 123 



zusammen alle zulässigen Werthe von k, p erschöpfen und das gegebene doppelte Integral 

 darstellen. 



Hieraus folgt also: Wenn k l > k ° £> k^ > V so ist: 



/ dxjf (x, y) dy = 

 fdkff(X, Y) A dfi +fdxff(X, Y) A dfju + jdkjf(X ) Y) A c?/. (I) 



J," jb» A,' /t» A » /i" 



Es bleibt noch der Fall zu erörtern, in welchem die Grenzwerthe von k die Stellung in 

 (l 1 ) zu einander haben. Zu dem Ende denke man sich die Ungleichheiten bezüglich p in der 

 schon oben angedeuteten Ordnung (l 1 ), (2 1 ), (3 1 ), (4 1 ) angeschrieben, so wird man durch ein 

 ganz ähnliches Raisonnement wie oben finden : 



V fi, >,' fi, V fi' 



(V) =Jdkjf(X. Y) A d,,; (2 1 ) =jdkjf(X. Y) A dp; (3 1 ) =fdkff(X, Y) A dp 



»i° fi° V fic V A> 



Den Ungleichheiten (4 1 ) vermag auch hier kein Werth von k Genüge zu thun. In der 

 That folgt aus der Tabelle des Art. 15, dass für: 



p 1 < p x nothwendig k > A, 1 

 und für 



/i„ < //' „ ;> < A, u 



Nun soll aber vermöge (P) gleichzeitig auch noch : 



V > V > k ° > V 



sein; man sieht also, dass es absurd wäre, unter diesen nach allen Richtungen sich wider- 

 sprechenden Anforderungen einen Werth von k angeben zu wollen. Es finden somit auch in 

 dem vorliegenden Falle nur drei Theilintegrale statt, und zwar ergibt sich: 

 Wenn kj > # > V > k," so ist: 



J *y / fa 2/) dy = 



fdkff(X : Y)\dp + JdkJf(X,Y)kdp+JdkJf(X,Y)*dp (II) 



A„» A A,> /i, V ß t 



A,° M ° A » /<„ V A) 



Die Resultate (I) und (II) lassen sich durch eine einfache Verwandlung auf einander 

 zurückführen. In der That, addirt man zum ersten und dritten Gliede der zuletzt erhaltenen 

 Gleichung resp. die Integrale: 



V fi, V fi' 



fdkff(X, Y) A dp , fdlff(X, Y) A dp. 



V fi" A„° K, 



q* 



