Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel-Integrale. 125 



Auch hier kann der Bedingung in (4) nicht Genüge gethan werden. Denn, wie aus der 

 Tabelle des Art. 14 hervorgeht, ist: 



/i„ > ;i\ so lange X > XJ 



fh < ß", » •: ^ < K° 



Wenn aber hiernach X einmal grösser als X X und zugleich wieder kleiner als X t ° sein 

 soll, so kann ihm gemäss (/) gar kein Werth angewiesen werden. — Das Integral besteht 

 also nur aus den obigen drei Theilen, so dass für: V > V > V >> X ° ist: 



/ dxjf (x, y) dy = 





fdxjf{X. Y) A dfi 4- JdxJf(X, Y) A d/x + JdxJf(X. Y) A dy. (III) 



Addirt man zum ersten und dritten Gliede resp. die Integrale: 



jdxJf{X, Y) A 41 , /^/> (A, Y) A dy. 



V Vi V P\ 



und zieht deren Summe vom zweiten Gliede wieder ab, so erhält man, wie eine leichte 

 Rechnung zeigt, genau die Gleichung (II). 



Legt man die Bedingungen (f) zu Grunde, und betrachtet die Ungleichheiten bezüglich 

 der Veränderlichen y in der oben bereits angedeuteten Ordnung (l 1 ), (2 1 ), (3 1 ), (4 1 ), so wird 

 man durch eine ganz analoge Betrachtung finden, dass : 



(V) =fdxff(X, Y) A dy- (2 1 ) =fdAJf{X, Y) A dp- (3 1 ) =Jdxjf{X, Y) A dy. 



Man wird ferner finden, dass (4 1 ) auch in diesem Falle nicht befriedigt werden kann, 

 und zwar darum, weil nach Art. 14 



y < fi 1 , wenn X < V 

 und 



y° < /i 1; wenn ^ > ^ 



Wenn aber X gleichzeitig grösser als X, und kleiner als V sein soll, so lassen die For- 

 derungen in (l 1 ) keinen Spielraum für irgend einen Werth von X übrig. Es entspricht daher 

 diesem Falle kein Integral, und man hat das Resultat : 



Wenn V > V > X, 1 > X ° so ist: 



J dxj f{x,y) dy = 



fo S=°W 



fdxjf (X, Y) A dyt + /"«« ^/ (A, Y) A f //i + /^ ff (A, F) A c?/x (IV) 



