Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel-Integrale. 127 



Was nun die Bedingung (4) betrifft, so kann ihr hier kein Genüge geschehen. Denn 



nach Art. 14 ist 



X > ; ° wenn /i < /i" 



und 



X <C V wenn fi 1 «< n x 



Das gleichzeitige Bestehen dieser Eingrenzung von X, mit der Voraussetzung (l) zu- 

 sammengehalten, lässt auf der Stelle erkennen, dass sich kein X angeben lässt, welches (4) 

 genügt. 



Wenn also: ^ u > /„" > // > V, so ist: 



jdxjf(x,y) dy = 



fdxf/LX, Y) A ^ + fdkjf{X, Y) A rf/i + j[^J/& *),* * (V) 



Auch diese Gleichung stimmt dem Wesen nach mit allen vorhergehenden überein. Um 

 sich davon auf einfache Art zu überzeugen, addire man resp. zum ersten und dritten Gliede 

 die Integrale: 



jdxjf (X, Y) A dfx , fdxjf (X, Y) A dfx 



und ziehe ihre Summe vom zweiten Gliede ab, so wird man unmittelbar zur Gleichung (III) 

 gelangen. 



Es ist nun noch der Fall zu betrachten, in welchem die Voraussetzung (l 1 ) stattfindet. 

 Man betrachte die Bedingungen für ji in der oben schon angedeuteten Aufeinanderfolge (l 1 ), 

 (2 1 ), (3 1 ), (4 1 ) so wird man finden, dass (l 1 ) nur so lange unverändert bleibt, als ji zwischen 

 /i und p} sich bewegt, uud X > XJ und X < Äo° bleibt, weil nach Art. 14 nur dann /i° -< /i , 

 /i <C ji 1 ist. Somit erhält man : 



(V) = -fdxff(X, Y).kdp 



Für X = X ° geht (l 1 ) in (2 1 ) über und behält die letztere Form so lange sich /i zwischen // 



und /i 1 , und so lange sich X zwischen X ° und V bewegt, weil dann nach Art. 14 beständig 



/i < fi° und /i 1 -< /ij bleibt. Es ist daher 



;.,' pl' 



(27= -jdkJfiX, Y)bd ß 



Wenn sofort ^ den Werth V überschreitet, so geht (2 1 ) in (3 1 ) über, und man findet hier- 

 für durch dasselbe Raisonnement: 



"1 /'•! 



(3 1 ) = -fdxff{X. Y)kdix 



v /»" 



