Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel-Integrale. 129 



Auf ähnliche Weise ergibt sich dass: 



(2) =fdk ff (JT, Y) A dp ; (3) =f^ff (X, F) A ^ 



;.,« ,<» v p° 



Die Bedingungen (4) lassen sich auch hier nicht verwirklichen; denn nach Art. 14 muss 

 noth wendig: 



A > V , wenn fi ü < /i l 

 und 



A <C A/ , wenn // < /i, 



sein soll. 



Da aber diese Eingrenzung von A mit (l) gleichzeitig nicht bestehen kann, so rechtfertigt 

 sich die obige Behauptung von selbst. 



Wenn also: A 9 > A * > A, > A/ so ist: 



f. (•-' w 



J dx J f{x,y) dy — 



fdxff{x, Y) a c//i + Aza /7(x, V) a ^ +fäxff{X, Y) \dp. (Vii) 



Addirt man resp. zum ersten und dritten Glied die Integrale: 



fdkjf (X, Y) A dp. , fdk ff ( X F ) A 4i 



und zieht alsdann die Summe beider vom zweiten Gliede wieder ab, so erhält man die 

 Gleichung (VI). 



Wird die Relation (l 1 ) zu Grunde gelegt, so wird man durch ein Raisonnement, welches 

 dem bisherigen durchaus analog ist und darum nicht näher ausgeführt zu werden braucht, 

 erhalten: 



V /<' V .% V fti 



(1«) =fdxff(X, Y) A dp : (2') = fdX ff(X, Y) A d ß ; (3 1 ) =J\ü ff(X. F) A dfx 



Bezüglich der Bedingung (4 1 ) müsste nach Art. 14: 



A ~> A,° . wenn ^ < /z u 

 und 



A < A ] , wenn /i 1 < /*„ 



sein sollte, was mit (Z 1 ) im Widerspruch steht, es bietet also (4 ] ) keine Lösung dar. Wenn 

 daher A„ n > A,° > A ' > A, 1 so ist: 



j dx jf (x, y) dy = 



f„ s.-<"M 

 V n' >■;' in V /■» 



fdxff(X, F) A f //i + /*e?A //(V, F) A *. + fdxjf{X, Y) A *, . . . . (VIII; 



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