130 Anton Winckler. 



Addirt man zum ersten und dritten Glied resp. die Integrale: 



fdkjf (X. Y) A dfx , /^J> (A' ; Y) A <ft 

 ;,,' /x, v p« 



und zieht ihre Summe vom zweiten Gliede wieder ab, so wird man die vorige Gleichung 

 (VII) wieder finden. 



20. 



Durch die vorhergehenden Betrachtungen sind alle zu I (I) des Art. 14 gehörenden Fälle 

 erledigt, und nicht nur die entsprechenden Transformationsformelu hergestellt, sondern suc- 

 cessive auch auf einander zurückgeführt oder als wesentlich unter sich übereinstimmend 

 erkannt worden. Dieselbe Aufgabe bleibt nun zur Vollendung des Beweises für die in III (I) 

 enthaltenen Fälle zu lösen überig. Ich werde mich nunmehr mit derselben beschäftigen. 



Der erste jener Fälle ist Nr. 9 der Tabelle in Art. 14, für welchen die Bedingungen 

 bestehen: 



H < /x ü , n < /i 1 , fx < /a , fx > ih 



denen im Allgemeinen auf die folgenden sechs Arten Genüge geschehen kann: 



/i, < /i < / < /a, < /i' (1) 



\h < 1* < Po < P° < I* 1 (2) 



% <: fx < /i < li 1 <fi° (3) 



/A < n < /i 1 < fx ti < /i" (4) 



ix, < [x < /i' < // < /A (5) 



ju, < /i < /i" < /*' < /A> (6) 



Hierzu kommt noch, dass: 



A 1 , > V > V > V • • . . ■ (0 



und A an sich negativ ist. 



Mit Rücksicht auf diese und die überigen in Art. 14 gegebenen Bedingungen lässt sich 

 leicht einsehen, dass die Fälle (5) und (6) als unzulässig ausgeschlossen werden müssen. 

 Denn darnach ist: 



X > V , wenn /z 1 < /z u wie in (5) gefordert wird, 

 und 



X < V , wenn fx° <C //p w i e i n ( D ) gefordert wird. 



Da nun /x 1 < fx und // <C fx gemeinschaftliche Bedingungen von (5) und (6) sind, so 

 genügt es, zu untersuchen, ob es Werthe von X gibt, welche jenen beiden Anforderungen und 

 zugleich jener (£) genügen können. Aus k > A * und X < i ° folgt aber ^ ° > A,, 1 und diese 

 Forderung steht mit (l) im Widerspruch : folglich kann weder (5) noch (6) entsprochen werden. 



Um nun den Umfang der Werthe von Ä und jj. zu bestimmen, für welchen die Bedin- 

 gungen (1) unverändert dieselben bleiben, bemerke man zunächst, dass jx alle Werthe durch- 

 laufen darf, welche zwischen /a und fx° liegen, dass aber, damit in der That [x x < /i° sei, nach 



