Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel-Integrale. 131 



Art. 14 nothwendig k >> / n ° vorausgesetzt werden müsse. Da also X t die unterste Grenze von 

 X, so ergibt sich eben so aus (l) dass, wenn X den nächst grössern Werth ^ ° erreicht, die Un- 

 gleichheit /i° <T Ho i Q ihr Gegeiltheil übergeht, weil eben nach Art. 14: 



fi° > ji wird , wenn X > A ° ist. 



Daraus ergibt sich ohne Weiteres , dass das Bereich aller durch die Bedingungen in (1) 

 eingeräumten Werthe von X und /i durch die Grenzen-Intervalle des Integrals 



(l) = -fdxJj(X, 7)A* 



erschöpft werden. 



Bei X = X ° gehen die Ungleichheiten (1) in jene (2) über. Da hierbei ;i beständig 

 zwischen die Grenzen fi x und /j eingeschlossen bleibt, also niemals den Werth erreichen kann, 

 welchen // und /i 1 annehmen, wenn sie einander gleich werden (wobei es übrigens ganz 

 gleichgiltig bleibt, von welcher Beschaffenheit der entsprechende Werth X 01 sein möge) so 

 darf man X bis x 01 wachsen (oder nötigenfalls abnehmen) lassen, indem dann niemals der 

 Fall eintritt , dass X und \i gleichzeitig die der Gleichung /i° = ji 1 entsprechenden Werthe im 

 Bereich der Integration annehmen. 



Hieraus folgt, dass die Gesammtheit der Werthe von X und fi, welche den Bedingungen 

 in (2) Geniige leisten, in den Grenzen des Integrals: 



/*0 



(2 ) = _ fdX ff (X, Y) A dp 



vollständig enthalten ist. 



Bei dem Werthe X = X 01 angelangt, geht (2) in (3) über und behält diese Form bis 

 X = Xq 1 wird. Es ist daher: 



'•u ,"-0 



(3)^~fdxff(X, Y)Adfi 



Von X = V an geht sofort (3) in (4) über und behält diese Form bis X = X\ geworden 

 ist. Man hat also: 



(4) d -Jdk ff (X, Y) £L dfx. 



Nimmt man nun alle diese Auflösungen zusammen, und bemerkt, dass die Integrale (2) 

 und (3) in ein einziges sich verwandeln lassen und dass bei dieser Gelegenheit X 01 daraus ver- 

 schwindet, so ergibt sich: 



Wenn X, 1 > V > / ° > V so ist: 



fdxff(x,y) dy = 

 fdxff(X,Y)&d,x+ fdxff{X,Y)kd, J . + fdxff{X,Y)kdix (IX) 



