Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel- Integrale. 



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Für (2) findet man durch ein Raisonnement, welches dem entsprechenden im vorigen 

 Art. durchaus analog ist: 



A"' /t, 



(2)=fdxff(X,Y)±dfx 



V m 



Bei dem Werthe X = X n angelangt, geht (2) in (3) über und behält dieselbe Form bis 

 A = A* wird. Es ist daher: 



V p. 



(3) =Jdxjf (X, Y) A d,, 



Von X == ^/ an geht (3) in (4) über und behält diese Form bis k = V geworden ist. 

 Man hat also: 



V pf 



(4) =jdkjf (X, Y) A d,, 



Nimmt man alle diese Integrale zusammen, und bemerkt, dass bei der Vereinigung von 

 (2) und (3) der Grenzwerth X 01 ganz verschwindet, so wird man haben: 

 Wenn V > V > V > V, so ist: 



jdxjf(x,g) dy == 



fo C M 



A,o ,L« 



V p. 



V P> 



fdxff(X, Y) i^+ fdkjf{X, Y) A cZ/x + /<&// (^ 1') A ^ (X) 



V lh V Po V Po 



Addirt man zum ersten und dritten Glied resp. die Integrale: 



V Po V Po 



fdkffiX, Y) A ^ , Jdxjf{X, Y) A <*i 

 V pi V p, 



und zieht ihre Summe vom zweiten Glied ab, so ergibt sich die Gleichung (IX) wieder. 



22. 



Den Bedingungen: 



H < / , /z < // , /i < /i , (i > /i 



des unter Nr. 11 im Art. 14 angeführten Falles kann man im Allgemeinen ebenfalls auf 

 sechs verschiedene Arten genügen, nämlich: 



fr < P < ft 1 < fr < ft° ■ ■ • • (1) 



fr <fi< fr < /i 1 < p. . . . . (2) 



fr < fx < fr < // < /i 1 . . . . (3) 



fr < ii < // < fr < fx 1 . . . . (4) 



fr < ix < fx° < ix 1 < fr . . . . (5) 



fr < fi < jx x < ^° < /i . . . . (6) 



