136 Anton Winckler. 



24. 



Durch die vorangehenden Betrachtungen sind nun nicht blos die früher als wesentlich 

 verschieden erkannten Fälle insgesammt untersucht, sondern es sind zugleich auch die ihnen 

 entsprechenden Transformationsformeln des gegebenen Doppel-Integrals -wirklich dargestellt 

 worden, auf welche es ursprünglich vor Allem abgesehen war. 



Es wurde gleichzeitig mit der Entwickelung jener 12 Gleichungen die wesentliche Über- 

 einstimmung der in denselben enthaltenen Darstellungen des transformirten Integrals unter 

 sich nachgewiesen, so dass von jetzt an, so weit es sich um den vollständigen Ausdruck 

 dieses Integrals handelt, auch die letzten in Art. 15 noch für nöthig gehaltenen Unterschei- 

 dungen als ganz unwesentlich erscheinen und weiter nichts besagen, was man nicht unmittel- 

 bar durch blosse Addition und Subtraction gewisser endlicher Ausdrücke in Integralform 

 erreichen kann. 



Hiernach lässt sich das Ergebniss der ganzen vorhergehenden Untersuchung, alle Fälle 

 umfassend, in folgender "Weise darstellen : 



Theorem. 



Bezeichnen ip ü (x) und <p l (x) zwei Functionen von x, welche innerhalb der 

 Werthe c und Ci von x endlich und stetig, so wie einwerthig und reell bleiben, 

 und für keinen zwischen c* und £, liegenden Werth von x einander gleich 

 werden; setzt man in dem doppelten Integral: 



/ dx f f(x,y) dy 

 f. k°W 



an die Stelle der Veränderlichen x, y Functionen zweier neuen Veränder- 

 lichen^,/!, bestimmt durch die beiden Gleichungen: 



X = ^(A,ft) 5 y — -M*,A0 



aus welchen sich niemals eine dritte bilden lässt, welche blos x und y oder 

 blos X und /i enthält, und wobei J (i|(1)) F (Ai/l) in Verbindung mit <p\ x) , <p\ x) von der 

 Beschaffenheit sind, dass die Wurzel: 



H = /i der Gleichung X ßt!l] = ? 

 jx = /ij ,. „ A (A> tlj == ?i 



/* = /<> n Y(^)ff.{^i^)) 



vollkommen bestimmt, reell und so lange einwerthig bleibt, als X zwischen 

 dem grössten und kleinsten der Werthe liegt, welche als die einzige reelle 

 Wurzel: 



X = X ° der Gleichungen: X (Xill) = c • Yq,a = c"ic„) 



/ = /„ .. ., A (Aj ^ — Co • -*(A, ;i) = f (Cu) 



X — X° .. „ X {K rt == f, . Yfcß) = <f [£i) 



^ = V JJ -I -^'(A./O = ^ ' Y^p) = $*>' (£1) 



