Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel- Integrale. 137 



sich ergeben; bezeichnet man ferner zur Abkürzung: 



dX dY dX dY 



A = — • • — 



dfx dk dX dfi 



so ist: 



I dx I f (x, y) dy 



60 F°W 



fdX ff (X, Y) A d t , ^ fdX ff (X, Y) A dp 4- f dl ff (X, Y) A dp 



wofür man auch jeden der ei If überigen, dem Werthe nach hiermit überein- 

 stimmenden Ausdrücke (II) bis (XII) setzen kann, welche in den Art. 16 bis 24 

 entwickelt sind. 



Durch diesen Satz ist die Unbestimmtheit des Zeichens von A, welche die Euler'sche 

 Transformation übrig Hess, allgemein aufgehoben. Es kann nun aber wohl geschehen, dass 

 A seiner Natur nach (z. B. als Quadratwurzel) ein Doppelzeichen in sich schliesst. Auch in 

 diesem Falle wird nicht erst eine besondere Untersuchung nöthig, wenn man die Grenzen 

 der Integrale, unter Zugrundelegung irgend eines der beiden Zeichen von A, das Zeichen 

 von X und Y und sofort die demselben entsprechenden Werthe der Grenzen bestimmt. 



Dieser Fall entspricht zwar den Voraussetzungen des Satzes nicht; wenn aber in eben 

 bezeichneter Weise alle Bestimmungen auf die zusammen gehörigen Zweige der Functionen 

 X und Y bezogen werden, was immer geschehen kann, sobald die nicht zusammengehörigen 

 Zweige für bestimmte, innerhalb des zu untersuchenden Intervalls liegende Werthe der Ver- 

 änderlichen nicht zusammenlaufen, so verhält sich Alles so, wie bei einwerthigen Functionen 

 und es finden daher die früheren Voraussetzungen statt. 



25. 



Ich werde nunmehr diese Lösung der in wenig beschränkter Allgemeinheit gestellten 

 Aufgabe auf eine grössere Anzahl mehr oder weniger specieller Fälle anwenden, welche 

 geeignet sind, die Bedeutung 1 des gefundenen Theorems sowie auch die Art seiner Anwen- 

 düng und einige dabei in Betracht kommende Umstände am besten ins Licht zu setzen. 



Für die erste Anwendung nehme ich an , die Transformation solle dadurch geschehen, 

 dass man voraussetzt, es sei: 



X — A(A, p.) = l l 



V — Y { x, ß) = 1 

 Dafür erhält man dann A = + 1 und es folgt: 



fi Q — c aus der Gleichung Ä" (A) rt = c 

 /z, = £, aus der Gleichung X^ itl) = ?j 



Die Gleichungen: 



Y ßilt) — f{X {K ^ , Y {Kll) — <p'(X {Lll) ) 



Denkschriften dor mathem.-naturw. Gl. XX. Hd Abband!, v. Nichtmitgliedern. s 



