138 Anton Winckler. 



gehen daher beziehungsweise über in: 



X = f°(/i) , woraus ji = /j." — (p°(k) 

 und 



X = cp x (/i) , woraus /z = /x 1 = (p 1 (X) 



wobei jetzt auf 5& (X) , (p l i}) die Bedingung der Einwerthigkeit in dem Sinne des vorigen 

 Artikels überzutragen ist. 

 Ferner ergibt sieh : 



X n ° = <p°(Q , X/ = f(Q aus der Gleichung X = f(p) 

 X,, 1 = p 1 (£ ) , X, 1 = jj 1 (£j) aus der Gleichung X = p 1 (//) 



Setzt man diese Werthe in die Gleichung (I) des Art. 16 ein, so erfolgt: 



I dx I f (x, y) dy = 



fo ?•(*) 



(•'(&) f| ?°(fn) S»'W ^(fo) 0'tt) 



/Vx /> (/z, X) dp + Jd\ ff fa X) dfi + |\/X jf/ f/t, X) ^ 



c-°ff,) >(A) (r'(f>) jt»W F°(50 s> 



Setzt man x für/i, und y für X, so lässt sich, wie leicht zu sehen, dieser Gleichung die fol- 

 gende Form geben: 



f. ■?• (») 



j dxj f(x,y) dy = 



J */ / / (*j V) dx + f dy j f(x,y)dx + I dy I f(x,y) dx (1) 



Auf gleiche Art Hessen sich aus den früheren Gleichungen (II) bis (XII) noch weitere 

 eilf Formen ableiten. Ich will, des spätem Gebrauches wegen, nur noch diejenige anführen, 

 welche sich aus (II) ergibt. Sie ist die folgende: 



fi 9»'W 



/ dx f f (x, y) dy = 



fo P°W 



S=»(6d fi S-'Uft) f« ?'(&) f. 



)dyjf{x,y)dx+JdyJf{x,y)dx-\-JdyJf(x,y)dx (2) 



F°(f.) (/'W f'(fo) <*'(*) y»(W 'fo 



wobei die Gleichung <p ü (x) = f x {x) keine zwischen £ und £ t liegende reelle Wurzel besitzt, 

 und die als einwerthig vorausgesetzte Function: 



x = (p°{y) aus der Gleichung y = f°(^) 

 und 



x = ^' (?/) aus der Gleichung y = <p l (x) 

 abzuleiten ist. 



