Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel-Integrale. 139 



Hierdurch nun ist der Satz bewiesen, dass auch bei Doppel-Integralen 

 mit veränderlichen Grenzen die Umkehrung der Integrationsfolge gestattet 

 ist, dass aber hieraus im Allgemeinen drei andere doppelte Integrale her- 

 vorgehen, deren zum Theil veränderliche Grenzen aus der Umkehrung der 

 ursprünglich gegebenen erhalten und zur Bildung der Grenzen in der durch 

 die Gleichung (1) [oder (2)] vorgeschriebenen Weise mit einander verbunden 

 werden müssen. 



Diesen bemerkenswerthen Satz habe ich bereits in der früher erwähnten Abhandlung 1 ) 

 durch rein geometrische Betrachtungen für den Fall begründet, dass die unteren Grenzen £ 

 und <p a (x) Null seien. Das daselbst gefundene Resultat stimmt mit dem aus (2) sich ergebenden: 



j dx ff (*, y) dy =JdyJf (x, y) dx — f dy ff (x, y) dx 



(f(0) 



vollständig überein. 



26. 



Als Anwendungen des eben bewiesenen Satzes will ich einige besondere Fälle betrachten. 

 Angenommen es seien die Functionen <f n {x) und ^(x), sowie die Grenzwerthe £ und |, 

 von der Beschaffenheit, dass gleichzeitig 



<p\Q = <?&) und ffr) = ^(fc) 



sei, was offenbar mit den Voraussetzungen des Satzes nicht in Widerspruch steht. 



Für diese Annahmen nun ergibt sich aus der Gleichung (1) des vorigen Art. statt des 

 dreigliederigen der blos eingliederige Ausdruck: 



fdxjf (x, y) dy =Jdyjf (x, y) dx 



Transformirt man das Integral rechter Hand durch Einführung einer neuen Veränder- 

 lichen z, welche mit der ursprünglichen x in der Beziehung 



<« x + r) (a° - z) f (//) - f«° + r) («' - z) f | y ) 

 (cf — a 1 ) (r+z) 



steht, und für welche also: 



(a» + r )(a* + r) f{y)~f(y), 

 dx = . — t — dz 



a° — a l (*• + £)- 



wo a°, a\ r gewisse constante Grössen bedeuten. 

 Setzt man zugleich: 



f ( \ -Ih y) _ 



J[XjV) f{y)-f{y) 



wobei 



a" («' +r)p (y) - a 1 (o° -f r) f (y) - Q° — a') rx 





(«' + '■) f (y) - («° + r) f (y) + (a° - «') x 



') Crelle, Journal ]>. lä. 



