140 Anton Win ekler. 



so geht die oben erhaltene Gleichung in die folgende über: 



fax fi*<***, Ä k+-) (-'+-) r% f^k dz 



Durch diese Gleichung ist das Doppel-Integral linker Hand auf ein viel einfacheres 

 zurückgeführt, welches von den Functionen j?°(a:), f l (x) und deren Umkehrungen nur in so 

 fern abhängt, als zwei besondere Werthe dieser Functionen die Grenzen bilden. Ein doppeltes 

 Integral, wie das eben betrachtete hat also die Eigenschaft, dass man für <p°(x) und <p\x) 

 Functionen annehmen kann, welche man immer wolle, wenn nur sie und ihre Umkehrungen 

 (p a (y), 4' X (]j) innerhalb des in Frage kommenden Intervalls stetig und einförmig bleiben und 

 von der Beschaffenheit sind, dass: 



ist: dann hängt der Werth des Integrals immer nur von den Endwerthen p\£ ) und <p\£ x ) ab. 

 Ich will annehmen, es werde f (y) . F{z) an die Stelle von F(z, y) gesetzt. Man findet 

 dann : 



f(y) dy (a° + r) (««+*) /%, , , r F(z) dz 



Für a° = , ra 1 = oo , r = 1 folgt hieraus: 



f i /> r-^i /(y) rf y - ff ( V ) d V f F - 



Es sei z. B. 



(p\x) — x r , <p\x) = x" 



so ist: 



f(y) = y r i f(y) = r 



und setzt man zugleich 



fo = o , e x = i 



so werden offenbar alle Bedingungen erfüllt. 



Ich will nun ausserdem noch annehmen, es sei: 



F(z) = 



(1 -f s) m +"— 8 



Dann erhält man nach einigen Umformungen: 



i 



1 x s 



/ dx / — r^- — ^- - • f(y)dy= r., f(y) d y 





