Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel- Integrale. 141 



Für m —n = — folgt hieraus : 



r dx r m*y =«f f{y)d y 



Wie man sieht, hat das Doppel-Integral die bemerkenswerthe Eigenschaft, dass sein 

 Werth von r und s so lange unabhängig bleibt, als diese Constanten von einander verschieden 

 sind. 



27. 



Wenn die untere Grenze <f°(x) = y constant ist, so geht die Gleichung (2) des Art. 25 

 über in: 



fdxjf (x, y) dy = Jdyjf (x, y) dx + Jdyjf (x, y) dx 



wobei der Kürze wegen f{x) für <p l {x), <p(y) für ^'(#) und £ für £ gesetzt worden ist. 

 Man nehme an, es sei in dieser Gleichung £ ein Werth von x, für welchen: 



f (Q = ?o 

 so vereinfacht sich dieselbe und man erhält: 



5 ?(*) (.-(?) f 



J dxjf (x, y) dy = j dy J f (x, y) dx 



wo also: 



x = <p(y) aus der Gleichung y = ^(x) 



als die einzige reelle, zwischen £ und £ liegende Wurzel abzuleiten ist. — Setzt man nun: 



^ (y ' „ . F (z) an die Stelle von / (x, y) 



und ist darin : 



«o (« + »") <P{y)—a K + »") ? — («o — «) »■« 



s = 



so ergibt sich : 



(« + ;•) $%) — (a -f-r) £-f (a — «) a; 





In dieser Gleichung sind einige beachtenswerthe specielle Fälle enthalten, die sich leicht 

 auf die folgende Art darstellen lassen. 

 Es sei zunächst: 



^o = 5?o , <p{x)=x , <p{y)=y , F(z) = 1 



