Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel- Integrale. 143 



Für m = « = r erhält man hieraus die Gleichung, welche zur Lösung einer die Tauto- 

 chronen betreffenden Aufgabe nöthig ist, und welche für jenen speciellen Fall mit Hilfe ziem- 

 lich umständlicher Reihenentwickelungen im 48. Bande des Journals von Crelle abgeleitet 

 worden ist. 



2. Von der eben vorgetragenen dem ersten Anschein nach verschieden ist die folgende 

 Aufgabe. 



In der Gleichung: 



x 



(x yf- 



f £J£-, -*/W-'M 



8— W 







ist (x) eine gegebene Function: man verlangt die derselben entsprechende Form der Func- 

 tion/^). 



Hier liefert die Gleichung (1) sogleich die Lösung, indem man daraus erhält: 



6 

 ffä —f(o)= r(W+W) ftf-x)*- 1 0(X) dx 







Für m = \ — n ergibt sich hieraus unmittelbar die Gleichung, welche zur Lösung einer 

 den Fall eines schweren Körpers bei gegebener Fallzeit betreffenden Aufgabe nöthig ist, und 

 welche dieser Aufgabe wegen zuerst Abel (s. Oeuvres compl. T. I, p. 29) für jenen beson- 

 dern Werth von m, auf ganz anderm Wege entwickelt hat. 



Ich füge schliesslich noch einige andere Anwendungen bei. Hat <p (x) die Eigenschaft, 

 dass: 



(p (o) = , und setzt man noch £ = jy — 0, so folgt: 



Jdx Jf (x, y) dy = j dy J f (x. y) dx 



ip('.l) 



Hieraus findet man z. B. die Gleichung: 



ip('j) 



Setzt man in dem Integral rechter Hand 



x — (p(y) dx _ 



£-s%) = Z ' T-^(y) _ 

 so verwandelt es sich in das Product zweier von einander unabhängiger Quadraturen und 

 man erhält: 



Es sei z. B. 



F(z) = — ; 9>( x ) = as , $%) = 2/ 



