Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel-Integrale . 145 



und für die Functionen // und /i 1 hat man die Gleichung: 



Y (Kll) = fdi) , aus welcher folgt: ; // = t/>°(X) 



5«, ri = f ' M ' » » " ^ = Jf 1 W 



wobei nun die für //. fi 1 gestellte Bedingung der Einförmigkeit auf die Functionen fi°(k) . $\X) 

 überzutragen ist. 



Bezüglich der Werthe A«°, V, //', V hat man die Gleichungen: 



wobei auch diese Werthe als vollständig bestimmt und als die einzigen reellen Wurzeln 

 zweier Gleichungen vorausgesetzt werden. 



Substituirt man nun diese besonderen Werthe in die Gleichung (I) des Art. 16, schreibt 

 zugleich auch x für /i, und z für X, so ergibt sich : 



jdxjf(x,y) dy = 



/"& />(■*, 7 fcl) ) . ~ dx + (cfe />(», y«,.,,) . £ eZz + fdz ff(x, Y (ZiX) ) . ~ dx 



Andere Formen würden sich aus den eilf überigen Darstellungen der allgemeinen Trans- 

 formation ergeben; unter den oben ausdrücklich gemachten Annahmen fallen dieselben aber 

 dem Wesen nach ganz mit der eben geführten Gleichung zusammen. 



Diese Gleichung nun zeigt, wie man ein Doppel-Integral durch Einführung einer ein- 

 zigen neuen Veränderlichen z transformiren müsse. Was durch sie hauptsächlich geleistet 

 werden kann, besteht darin, dass man, wenn die Veränderlichen x, y in der Function f (x, y) 

 einen explicite gegebenen Ausdruck bilden, diesen durch die neue Veränderliche z ersetzen 

 kann, so dass die nach x zuerst zu vollziehende Integration von der nähern Beschaffenheit 

 von f (s), weil eben z dabei constant bleibt, ganz unabhängig ist. Hierdurch ergeben sich 

 Reductionsformeln für doppelte Integrale von Functionen, deren Argument z allein näher 

 bestimmt ist, welche also ihrer überigen Beschaffenheit nach willkürlich sind. In dieser Hin- 

 sicht stellt also die obige Gleichung in vollständiger Entwicklung den allgemeinen Typus 

 der Lösung aller derartigen Probleme dar, so dass man in besonderen Fällen nur ihrer Vor- 

 schrift zu folgen braucht. 



Von der eben bezeichneten Art sind die, jedoch mit Hilfe geometrischer Betrachtungen 

 gefundenen Reductionsformeln, deren Eingangs Erwähnung geschah. Obgleich ich nun eine 

 ziemlich grosse Anzahl solcher im 45. Bande des Journals von Cr eile entwickelt habe, so 

 scheinen doch die folgenden weiteren Fälle schon darum Beachtung zu verdienen, weil sie 

 den, bis dahin noch nicht sehr weit geführten, Gegenstand der Reduction doppelter Integrale 

 auf Quadraturen nahe berühren, zugleich aber geeignet sein dürften, den Nutzen der voran- 

 gehenden Resultate noch mehr hervortreten zu lassen. 



Denkschriften der mathem.-naturw. Cl. XX. Bd. Aljlüindl. v. Nichtniitgliedern. « 



