Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel-Integrale. 147 



Da der Factor b durch Division fortgeht, so hat man, wenn nach dessen Beseitigung 

 6 = gesetzt wird, und wenn man dann mit den zwei überigen Integralen auf gleiche Weise 

 verfährt, schliesslich auch wieder b für c setzt, die Gleichung: 



J dx j f (ax + by) dij = 



i f (z — a^—by^f (z) dz + j(z — a^ — b7 il )f{z) dz -\-j{z^ a ^ — b Vo )f(z) dz \ 



<!?o + l>Xo "?0 + '''.0 a ?l) + * 



wobei, der Symmetrie wegen, eine etwas andere Form als die unmittelbar sich darbietende 

 gewählt worden ist. 



Gewissermassen analog zu dem eben betrachteten Falle ist derjenige, für welchen 



z = ae mx + be mx + ny + ce ny 



und 



dY _ 1 1 



dz n z — ae'" x 



folglich : 



f fix, Y) — dx = log lze-' nx — a) + Const. 



J J x ' 'dz mnz ° K ' 



Angenommen es sei auch hier <p° (x) = jy , <p l (x) = jy, constant, so ist: 



a-\-be nT <« r \ j m o a -\-be m <* 



tf°(£ ) — ae m ^ + 6e'" f » + '" ; " 4- ce"' , 0'(Q = ae m *° 4- be mS ' +nT " 4- ce"« 



d°(^) = ae m ^ 4- be" ,s < + " r '° + ce"" , d 1 ^) — ae'" fl + be v *> + n, '> 4- ce"'" 



Setzt man diese Werthe in die Gleichung des vorigen Artikels ein, so ergibt sich: 



I dx f f(ae mr 4- be mx + ny 4- ce ny ) dy 



'(f.) e»(f„) 



ij /•/« i og -+/* * + r/« log -+*- — . & 



B°(W 6<(f ) 



H / — log . dz 



Für £ = ^ = und ^ = ^ = 00 ergibt sich hieraus, wie leicht zu sehen, die Gleichung: 



ec oa 



f dx ff(ae mx + be mx+ny 4- ce ny ) dy = — f f -~ log 



/*/« i„^( s - a )( s ~ c ) dz 



bz-j-ac 



a-f-Ä + ö 



t* 



