Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel-Integrale. 149 



fix) = , ?{*) = y-- axm \ 



e. = o , e, = (-) 



ö°(£o) = 7 , #(*.) = oo 



0°(£) = oo , 0%) = oo 



Dies vorausgesetzt gibt nun die Gleichung des Art. 28 unmittelbar: 



t/r"' j- ^y — 2' t/ €/ 





Nun ist aber, nach Anwendung der jetzt eingeführten Bezeichnungen: 



i 



dY . (ab — aß)x™+ßk—bx ( •. 5 )"-' 



— dx = n . -; — ; { xz — k — [az — a) x } 



dz (£*—&)»+ ' { ) 



wenn man also eine neue Veränderliche t für x einführt, für welche: 



az — a - ( xz — k\ m 



t = x'" , x = ■ I . r 



xz — k \az — aß 



dx = m ( X "~ ' J . /'"-' dt 

 so erfolgt: 



jy (xz lc\ m ^~ n — ^ ( X" • Z.' ) 



— dx = mn 1 '- | (ab — aß) — - . t + ßk — bx J f-' (1 - - t)"-' dt 



dz (ag—a) m (ßz—b) n + i ( v ' ' az — a ' ) v 



Ferner ist, wie man sich auf der Stelle überzeugt: 

 (ab -- aß) ^p~ . t + ßk — bx = (ßz — b) . °—L* t + (ßk -- bx) (1 — t) 

 folglich hat man auch: 



— dx — 



dz 

 o 

 i i 



(xz — k) m+n - 1 ( ak — ax f m ßk — bx 



mn 



[•^/rp-r* + ^(i-<r*| 



(az — a)"> (ßz — b)" { az 



o o 



Die beiden letzten Integrale lassen sich durch Gammafunctionen ausdrücken, und man 

 findet das Resultat: 



