150 Anton Winckler. 



Erstreckt sich die Integration über alle positiven Werthe von x, y, welche der 



Bedingung 



i i 



< ux"' + ßif < x 



Genüge thun, so findet die Gleichung statt: 



ax m + ßy» - J 



mn r(m)rtn) f (xz — k) m + n - i ( ak — ax ßk—bx) 

 • -v, • / ^ \ m + n — > az 



m + n r(m + ?i) J ( a z—a) m (ßz — b) n [ az — a ßz — b ) 



k_ 

 X 



Die Potenzen (az — a)'", (ßz — b) n bleiben, wie man sich leicht überzeugt, sowohl für 

 gebrochene als ganze Werthe von m und n reell, insofern : 



ak — ax > und ßk — bx > 



In diesem Falle gilt also auch die obige Formel für alle Werthe m und n. 



Für a = ß = x — 1 erhält man den speciellen Fall einer allgemeinen Reductionsformel 

 für ein beliebig vielfaches Integral, welche meines Wissens zuerst Liouville gefunden hat und 

 die später in voller Allgemeinheit von Schlö milch hergeleitet wurde. 



31. 



Minder einfach wird das Ergebniss, wenn die Grenzen des Integral constant sind. Lässt 

 man dasselbe sowohl nach x als nach y mit o anfangen, setzt also: 



£„ = ° j € i = £ ; 9%x) = o , <p\x) = rj 



und legt man den Werth von z in der Form zu Grunde, wie er im vorigen Artikel, Glei- 

 chung (1) angegeben wurde, so findet man: 



m = {B£)~ • ^> = ( : 



yz — c + {ßz — b)rj n \ 



a — az 

 bf] n +c 



r ßr+r 



o\Q = '- , Ö\Q = 



K 1J af— r ' «£'"+ßy" + r 



Wenn man nun die beiden Integrale, welche in der Gleichung (2) des vorigen Art. vor- 

 kommen, auch hier vermittelst einer neuen Grösse t transformirt, für welche: 



az — a 1 rz — c\'" 



t = X m , X = I — ■ | . f 



yz — c 



(yz — c\" 

 az-a) 

 i 

 l / yz—c\ m --i 



= - - . r t 



m \ az — aj 



