Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel- Integrale. 151 



und wenn man nach geschehener Substitution bemerkt, dass: 



/i _ i 11 „11 



(l— *)" _1 . rdt = — (l— tf . r* + — / (l — tf' 1 . r~ 



wie sich durch theil weises Integriren ergibt, so wird man bald finden: 



dt 



i 



./ 



dY aß-ab x[yz — c+ (az — a)x"']" 



f(x, T)—dx = 



dz m-\- n L + i 



(a—az)(b—ßz)" 



V+i-i 



*<& 



TO-f« " J_ 1 ) m(a-uz) "^ 7i(b-ßz) \ ' J *• ' 



(a-«z) m (b-ßz)» ^ V V ' ' 



Dieses vorausgesetzt substituire man nun die angegebenen Grenzwerthe von a? und die 



denselben entsprechenden von £, sowie auch die ebenfalls angegebenen Grenzen von s in die 



Gleichung des Art. 28; setze auch der Kürze wegen: 



i i 

 (yz — c) m " j ay—ac by — ßc 



I / m(a — az) n(b — ßz) 



(a—az) m (b-ßz)" 



^(nß — ab) i'yz — c-\-(az — a)£ m \" 



(a—az)(b—ßz) \ l—ßz 



i 

 y _ rjjba—ßa ) / rs — c +(ßz —b)rj'' \= 



(o — ««) (6 — ß.s) \_ a — as _/ 



Dann wird man nach einigen nahe liegenden Umformungen erhalten: 



./ J- 7 ytur-rßf+rJ * 







6i?" + '- of^+S^ + e »?"' + ' 



i /Y-) /'(-) 1 



»« + » 



* \ m n f 



Z.f(z)dz- / Z./(8)flb+ / Z.f(z)dz 



„j><< + /,-,» + c '-/?%« „fm+s^n+c a - g; f) » 





1 1 



-1 



+ ^ I /(*)** •\v+#l{i~*r ? dt \ -/ /(«)**■ |tf+^/(i-0" r A 



Die Integrationen nach £ lassen sich unbestimmt ausführen, wenn entweder - oder — I — 



j m in n 



oder - eine ganze Zahl ist. Es versteht sich von selbst, dass man für gebrochene Werthe von 

 m und n, die soeben erhaltene Gleichung und die ihr zu Grunde liegende Transformation 

 durch die Veränderliche t, nicht anwenden kann, wenn die Coefficienten so beschaffen sind, 

 dass einzelne Bestandtheile jener Gleichung imaginär werden; man muss dann, um das Ima- 

 ginäre zu vermeiden, eine andere Transformation zu Grunde legen. 



