Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel-Integrale. 155 



dann b als positiv, so wird man nach einigen sich leicht anbietenden Reductionen die folgende 

 Gleichung erhalten : 



I dx ff(ax'" — by") dy = 



/tä 7 H) 



— - ir r(-+-) 



\ m n I 



tt p» _«,» „f" 4//" — af 



n „*w 



4- — L-j. z m + n *f{z)dz I {\—tf l t w*>dtA- / z m+7 ' l ß r -z)dzJ(l—t) m '«'- + "'*j 

 Macht man die noch speciellere Annahme, dass £ = oo, jy = oo sei, so wird man haben: 



O* CO 



fdx ff(ax'"-by")dy = 



mna m b' 1 sin -+- v '" " 7 '■ 



i + i-, 



" f(z) dz + sin- / z"> " f(—z)dz 



Diese letztere Gleichung ist, so viel mir bekannt, zuerst von Raabe gefunden worden. 

 (Crelle, Journal Bd. 37.) 



Diese besonderen Fälle mögen genügen, um den Nutzen der Gleichung des Art. 28 für 

 die Reduction doppelter Integrale auf Quadraturen zu zeigen. 



33. 



Die folgenden Anwendungen werden die Allgemeinheit des Theorems in Art. 24 in 

 grösserm Masse als die bisherigen in Anspruch nehmen, indem darin gleichzeitig zwei 

 neue Veränderliche zur Transformation verwendet werden. Ich werde dabei die Function 

 unter den Integralzeichen als abhängig von zwei von einander getrennten Ausdrücken, — 

 die ich der Kürze halber Argumente nennen werde, — voraussetzen, und für jeden der- 

 selben, als gegebene Function von x und y, eine neue Veränderliche einführen. 



Um hierbei mit dem einfachsten Falle zu beginnen, will ich annehmen, die Function 

 hänge von den beiden Ausdrücken: 



ax + by , ax 4- ßl) 



ab, und es seien die Integrationsgrenzen durchaus constant, nämlich £ u und £i nach x, und 

 7j und 7j l nach y. — Setzt man nun: 



ax -(- ty = X . ax -f ßy = /i 



