158 Anton Winckler. 



Wenn in den beiden letzten Fällen a = a und ß = b wird, so erscheinen die ent- 

 sprechenden Resultate rechter Hand in unbestimmter Form. Nach bekannten Regeln erhält 

 man jedoch sehr leicht ihren wahren Werth, nämlich: 



(ax -\- by m ~ 2 r(m) r(w — m) 



r r (ax + by*-* _ 



J X . I (1+axA- bv) n y ' 



(1 + ax + by)" a ab . r(n) 



n r(n ) 

 abk n + 1 



I dx I (ax -f by) n ~ l fl -»(- + W <fy _ 



wobei m für r -+- s geschrieben wurde. 



Ich will schliesslich annehmen, es sei: 



sin*; _ 

 f\KN = -y~ e 



so wird man mit Benützung bekannter Formeln finden: 



f dx f 



sink (ax + %) _ . v . 1 1 («6 — aß) xk 



e *«" + «" efy — — . — _ . arctang- 



ax-\-by x ab — aß e aßx'' -\- abk 1 



n o 



Daraus folgt, wenn man x = setzt: 



sin £ (na; -f- &?/) 7 11 



/■ r sin /fc (na- + 6y) 



I dx — — d y = 



J J ax + by 



' -\-by k ab 



o o 



Diese Gleichung, welche eine gewisse Analogie zu der bekannten Formel: 



f 



sin kx 71 



■ dx = ^r 



zeigt, stellt den Werth des Doppel-Integrals als dem Product der Coefficienten a und b um- 

 gekehrt proportional dar, was beim ersten Anblick wohl auffallen mag. Dass aber in der 

 That jener Werth um so grösser werden muss, je kleiner a und b sind, ergibt sich bald aus 

 der Bemerkung, dass x und y von Null angefangen, ein sehr grosses Intervall von Werthen 

 durchlaufen müssen, ehe der Bogen k (ax -\- by) den Werth tt erreicht, der Sinus desselben 

 also negativ wird, und in das Integral negative Elemente eingehen. Das Integral umfasst 

 also einen mit abnehmenden Werthen von a und b sich rasch ausbreitenden Umfang von 

 lauter positiven Elementen, die fast insgesammt viel grösser sind, als die später eintretenden 

 negativen, und daraus lässt sich das unbegrenzte Wachsthum des Integrals, welches mit der 

 unbegrenzten Abnahme der Coefficienten a und b eintritt, hinlänglich erklären. 



Setzt man entweder k = 1, oder, was auf dasselbe hinführt, x, y für kx, ky so erhält 

 man: 



f dx f±^±M d y = L 



J J ax+by * ab 



U. S. f. 



