Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel- Integrale. 159 



34. 



Die vorhin entwickelten Formeln lassen sich noch beträchtlich verallgemeinen. In der 

 That, es sei: 



ax m + by" = / , ax m + ßy n = /j 



so folgt: 



x ~ ■A-(*,p) 



und 



\aß — abj 



1 

 /ak — ofty 



i . . . — i .. ... — i 



A = -.- -—- r{ aX- a ,Y {b ß -ßXy 



(ab — aß) m » 



Rücksichtlich der Grenzbedingungen werde angenommen, die Integration habe sich über 

 alle diejenigen positiven Werthe von x und y zu erstrecken, welche mit der Ungleichheit: 



< aaf + ßy n < x 

 verträglich sind. Dann folgt: 



i 



und hiernach: 



l 



£o =0 



/i = - ; , // = - x 



o a 



ß , ab-aß 



woraus sich sofort die weiteren Werthe: 



/ — ü , /„ — — x 



b 



1 



Ay — X , /j X 



a a 



ergeben. Dies vorausgesetzt substituire man diese besonderen Werthe in die allgemeine Glei- 

 chung (VI) des Art. 18, so wird man, ohne weitere Umgestaltungen direct erhalten: 



fjf(ax m + ty", ax m + ßy n ) dx dy = 



— — A 



i- . ? T - I - . dk {aX—afxf' 1 . (bfi—ßXf _1 . /(A, /x) rf/x 



(a.b — aß) n n 1 J J 



o 



4 



nvn jL -)- _ _ i 



(ßa—ba) m " 



