160 Anton Winckler. 



wobei das ursprüngliche Integral auf alle der Ungleichheit 



< ax m + ßy" < x 



entsprechenden positiven Werthe von x und?/ sich erstrecken muss. 



Diese in allen Theilen symmetrische Formel besitzt einen erheblichen Grad von All- 

 gemeinheit. Ähnlich wie im vorigen Artikel, kann man die entsprechende Formel auch für 

 den Fall constanter Grenzen herstellen. Sind dieselben und oo, so ist: 



C« (X) 



fdx ff(ax m -+- by n , ax m + ßy n ) dy = 



o 



— -V-T- • I äk / («A— «*»)• ' . (b/i—ßXr'' 1 ■ f & p) dp 



(aä — aß) m " J J 



i 



Man kann leicht bewirken, dass auch auf der rechten Seite die Grenzen constant werden; 

 setzt man nämlich 



p = V 



wo p eine von k unabhängige neue Veränderliche bezeichnet, und ändert man nach geschehener 

 Substitution rechter Hand die Integrationsfolge, bezüglich k und/), so wird man finden: 



CO CO 



fdx ff (ax m + by n , ax m -j- ßif) dy = 



1 1 / ,-- „ «~> , / , 1 + 1 -' 



mn — 4_i._i 



(ab — aß) m " 



(« — <*/>)" (bp — ß) m dp k'" n f (k. kp) dk 



Setzt man hierin x und y für cc" 1 und w", und schreibt man dann überall - und -- für m 



° m n 



und n, so nimmt diese Gleichung die etwas einfachere Form an: 



OS CO 



fdx ffiax + by, ax + ßy) . x m ~' y"-' dy = 



II 



(« — ap)"- 1 (bp —ßy -'dp / x n +n - ' / (Jl, ;./>) eü 



(ai— aß) mJ r"~ l 

 Beispielsweise sei: 



/&» =/(?* + <*0 ■=*/[* fr + r)] 



Aus der am Schlüsse des Art. 31 angeführten Gleichung ergibt sich dann der Werth 

 des Doppel-Integrals: 



