Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel-Integrale. 161 



1 f(m) r(n) 



(ja -f ca)'" (yb -f cß) n T (m + n 



o 



fs m+ "- 1 f(z) dz 



und da: 



oo 



_/>+-*/(*. V) * = j—^. .f^-'fiz) dz 







so findet man nach einigen leichten Eeductionen: 



'(a — ap)"- 1 (bp—ß) m - 1 (ab — aß)™*"-* T (m) T (n) 



(cp.-\-y) m+n '" (af-\-ac) n (by+ßc)" ' f(m+?i) 



i ; 

 (a — jo)"- 1 (/>— *)'"-' (o_&)"»+»-i r(m)f(n) 



Setzt man hierin <z und 6 für - und -, so ergibt sich hieraus: 



« b 



J (c-\-p) m + n P 



(c-\-p) m + n r (a+c) m (b-\-c) n r(w-fw) 



o 



Für p = b -\- x , a — - b = 1 , c -J- 6 == « folgt die Gleichung: 



/s;- 1 (l-o;)"- 1 . 1 r(m)r(n) 



I dx = . 



J (x+a) m + n (1 -\-a) m u n r(m+?i) 



o 



welche zuerst von Abel bemerkt worden ist. (S. Abel, Oeuvres compl. T. I, p. 95.) Eine 

 andere Bedeutung als die einer einfachen Transformation des Euler'schen Integrals erster 

 Art hat jedoch diese Gleichung nicht, wie man sogleich sieht, wenn in der Formel: 



r(m) r(n) 



ff»-* (1_ *)»-! dt = 



r (m-\- n) 

 o 



die Substitution: 



t = - ■ x , dx = - — - dx 



x-\-a (x -\- ay 



gemacht wird. 



Nimmt man an, es sei 



f(X,p) = e-^F(^j 

 und bemerkt man, dass: 



CO 







so ergibt sich die Gleichung: 



Denkschriften der mathem.-naturw. Cl. XX. Tid. Abhandl. v. Nichtmitgliedern. 



