Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel-Integrale. 163 



und also: 



V 1 — ahji 



wobei die Doppelzeichen durchaus correspondirende sind. Das gegebene Differential erhält 

 hiernach die Form: 



fcn + n- 



Fügt man hierzu noch die Gleichungen: 



j i + y/ i —abji !"" ' j 1 ± V l—'abfi J" ' ./ (2% k 2 [x) dX dp. 



by 



1 + \/ 1 — a bp l + \/l—abp 



ax by 

 21 ^ 2k = 



welche sich aus den bereits angeführten unmittelbar ergeben, so übersieht man auf der Stelle 

 den Zusammenhang der Werthe von x und y , welcher bei einseitiger Änderung von jx oder 

 von X stattfindet. Betrachtet man nämlich y als Function von x, so ergeben sich wegen des 

 Doppelzeichens zwei Zweige derselben, welche sich in einem Werthe nur dann vereinigen, 

 wenn, für ein beliebiges A, die Gleichung 1 — ab/x = stattfindet oder also 



1 



,l = Vb 



Die Grenzen des vorgelegten Integrals seien constant, und zwar die unteren Grenzen 

 gleich Null, so dass man es also mit: 



dx x m ~ 1 y n ~ l f {ax -f by, xy) dy 







zu thun hat. — 



Bezüglich des Doppelzeichens, womit der durch X, /x dargestellte Differentialausdruck 

 behaftet ist, bemerke man nun vor Allem, dass an der Stelle, bei welcher die Doppelwerthe 



1 ffl 



sich mit einander vereinigen, also für fi = —, die Relation ax = by stattfindet, mithin y = — - x 



wird, und dass es daher zweckmässig sein wird das Integral in die beiden Theile: 

 <* 

 / dx f x'"~ l y n ~~ x f {ax + by , xy) dy und / dx f x m ~ x y n ~ l f {ax + by, xy) dy 



Od a 



— z 

 b 



zu zerlegen, und jeden einzelnen zu betrachten. Indem man von einem dieser Theile ausgeht, 

 kann man entweder das obere oder das untere Zeichen wählen, muss aber dann an allen Con- 

 sequenzen, welche sich aus dieser Annahme ergeben, durchaus und namentlich auch bei dem 

 andern Theile des Integrals festhalten. — Ich will nun das obere Zeichen wählen, und von 

 dem erstem Theile ausgehen, so dass: 



