166 Anton Winckler. 



Setzt man nun auch diese Werthe in die Gleichung (IV) des Art. 17 ein, so ergibt sich: 



j dx ff(ax + by, xy) . x"'- 1 y- 1 dy = 



ir> 



'0 ' " 



a£ 1 



+ ffl -^W ^^-^/"(^i/T^^r^^^^T^r^^^* • . .(2) 



^ii; %(2A — J7j ) ' " 



7 ^2 



af+^ g(2A-gfl 



+ — ^— f *x*+»-*dx{ ^(i—Vi^oJ/iT- 1 (i + VT^^bfi)"~ l f(2 h^ - dfi 



«f 7 (2A-ir ; ) r ^ 



aA* 



Addirt man die beiden Gleichungen (1) und (2) zusammen, so stellt die Summe das ver- 

 langte Doppel-Integral dar. 



Es ist leicht dieses Resultat in einem gewissen Sinne noch zu verallgemeinern. 

 Denkt man sich nämlich unter den Integralzeichen an die Stelle von f (ax -j- by , xy) über- 

 haupt nury(a;, y) geschrieben, so hat man in (1) statt f (x, y) zu setzen: 



/{, 



in (2) dagegen: 



1+J/l — a k a 1 — ]/l—abju 

 1 X 



f\ ? 1 -V 1 - ab f i ; 1 + yi-abp 1 



Sonst aber ändert sich Nichts. 



Ich hebe die folgenden besonderen Fälle hervor. Es sei nämlich 



m = J. , n = 1 



Dann erhält man aus (1) und (2) nach einigen Umformungen: 



00 00 



I dx j f(ax -f by, xy) x m l y"" 1 dy = 







J J \/l-aba J J \f\-abu 



' ' * r 



nt+br/ 1 affig 



(I) 



+ f 'm>. f" f <?±M cJß + f ' m f ( ShM dll 



J J l/l — abu J J tl—abu 



aj ;(■» A-,£) r r 4, rj(2i-/,rj) r n 



2 l.k* 2 aÄ ! 



Es seien ferner in (1) und (2): 



c = 00 , rj = 00 . a und b positiv, 



