Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel-Integrale. 167 



so erhält man, wie leicht zu sehen: 



I dx j x m ~ l y n ~ l f(ax + by, xy) dy = 



i 



-ab/jt 



- — f X»+"-> dX (""(l + Vl — abu)"'- 1 (l—Vl—abfi) n - lJ ^l 



am -i b n-iJ J v. ri \ fi y x 



d\i 



o© 



+ \ — />+»-» <u r"(i + i/r^-^x)'"- 1 (i + i/r^vr 1 ^ 2 -^ ^ 







Setzt man hierin auch noch m ,== 1 , «. = 1 , so erfolgt : 



(II) 



oo oo 



fdxff(ax + by,xy)dy = 2fMxf abf -^^d l * (III) 



o n 



36. 



Die zahlreichen Anwendungen, welche die beiden zuletzt angeführten Gleichungen 

 zulassen, sind von besonderm Interesse, weil sich aus ihnen nicht nur bereits bekannte son- 

 dern auch mehrere bemerkenswerthe neue Resultate ableiten lassen. 



In (II) setze man : 



/ (ax + by, xy) = e~ k ^ x v . sin (ax + by) 



und mache zugleich die Integration in Bezug auf X zur ersten so wird man finden: 



oo oo 



I dx af' _1 y n ~ l e~ k y - r y . sin (ax -f by) dy = 







1 ~ 



- — - f a \l + Vl^aJuY'- 1 (1—Vl—abuY- 1 - ^ /V+"- 1 e~ uV Z . sin 2A<W 



' n 



1 oo 



4- - -i-— /""Vi — Vi— abjtf^ (1 4 VT—ab/*)"- 1 _J!_ — fx m+n - 1 e~ kkV » . sm2XdA 



' ' 



Führt man die Integration bezüglich X nach der bekannten Formel von Euler aus, so 

 ergibt sich: 



oo oo 



f dx f x'"" 1 y"- 1 e -kVxy . s i n ( ax + by) dy = 



r (m-\-n) 



o o 



i 



sin 



in \{m-\-n)arctq — —{ 







["(1 + Vl—abp) m - 1 (i—v/l—aj/i)«- 1 



(& 2 ^+4) 2 ^1 — abfi 



+ (1— j/l — o^i)"- 1 (1+^1 — ab/*)"- 1 1 eZ/x 



