Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel- Integrale. 169 



Die erstere dieser beiden Gleichungen fand meines Wissens zuerst Cauchy; beide 

 sind mittelst ziemlich verwickelter Reihenentwickelungen hergeleitet in einer der Noten zu 

 dem „Memoire sur la th6orie de la propagation des ondes . . . •' (S. Memoires present^s 

 par div. sav. T. I. 1827.) Um seine Form zu erhalten braucht man nur a = 1, 6 = 1, 

 und 2 k für k zu setzen. 



37. 



In der Gleichung (III) des Art. 35 setze man für / (ax -f by, xy) einmal 



,/— sin k\/xi/ . , . , . «/— cos k\> xy . 



e -xV X!l # _ _1_ ■' cos {ax + by) und dann e~ xVx y z_ — sm (ax -f by) 



V x y V x v 



so wird man erhalten : 



fdx f e -*^. Smk ^ xy . cos (ax + by) dy = 2 / "" ^ . f e~'^ . sin HV^ . cos 2,1 c/A 



OO CXI 



y^ */ VT* • l/i-«^ _ 



/ ofa; fe-* v *y . 1^ V . sin (oa; + %) c/?/ ■= 2 / — - — ^ . / e-" 1 ^ . cos Ick Vfx . sin 2A cü 



Nun ist aber: 



/ e~ rX cos «A sin ßk dk = - j — , — ^~r~* [ 



.' 2 ( (a + /?)- + r (« — $ + r ) 







fohrlich kann man die beiden auf k sich beziehenden Integrationen ausführen und erhält: 



OO 00 



dx e-x^xy — — }=ß- cos (ax + by) dy = 

 y/xy 







1 



»«6 



dp \ ky/p+2 k\/p 



und ebenso: 



r ub dp j 



, ' \'p y'l—ab \ (k \/p + 2f + x-/i (k \'p — 2) 2 + x> 



OO OO 



dx e— xVx v y_y_ s [ n (a X _|_ fo^ dy = 



J .' \/xy 



1 

 /•^ dp ( & J/// + 2 _ & \/p — 2 _ ) 



J \/p \/l — abp ' \ (k y£+ 2) 2 + z> (k \/p — 2) 2 + x> ( 







Wie man sieht, können nunmehr auch die Integrationen bezüglich ji vollständig aus- 

 geführt werden. Beachtenswerther als die hierdurch sich ergebenden sehr weiläufigen Resul- 

 tate ist jedoch die Erörterung des besondern Falles, welcher der Annahme x = entspricht. 



Der erste Theil der Integrale rechter Hand ist alsdann: 



/ 



dp 







Denkschriften der mathem.-naturw. Cl. XX. Bd. Abliandl. v. Niehtinitgliedern 



(k ]/p + 2) \/p . \/l - abp 



