170 Anton Winckler. 



Dieses Integral hat stets einen bestimmten "Werth , welcher sich leicht finden lässt, wenn 

 man etwa setzt: 



,— 4 a; d[i x 2 — 4 ab 



11 = x 2 + 4ab ' ~j/£ = ~ ' (ar -f 4 abf * 

 Es folgt alsdann: 



j- x 2 — 4ab ,- 2 (x 2 + 2 kx + 4 a6) 



so dass das Integral übergeht in: 



r dx 



4 



/ 



x 



o 



+ 2 /fo; + 4 a6 



2 & 



arc cos — = , wenn 4 a6 — k 2 > 



^/4 «6 — A 2 2ya6 



1 ( / L- + l /F_4«6) 3 



- log - — — , wenn kr — 4 ab > Ü 



J/'A 2 — 4 ab ° 4 «6 



Der zweite Theil der auf [i sich beziehenden Integrale unterscheidet sich vom ersten 

 nur durch das Zeichen von k\ er ist 



r dx 

 1 / _ 



J x 2 — 2kx + 4ab 

 o 



und zwar in der ersten Gleichung abzuziehen, in der zweiten zu addiren. — Der Werth 

 desselben ist 



2 k 



arc cos — — , wenn 4 ab — k~ > 



\/<kab — k 2 2\/ab 



1 i (* — V A- -2 — 4 ab)' . . 7 



log , wenn k~ — 4 ab > U 



|/Ä* — 4 ab ± ab 



Verbindet man nun diese beiden Theile in der angegebenen Weise, so ergeben sich die 

 folgenden Gleichungen: 



oo oo 



/ dx \ - — —— — cos (ax 4- by) dy = — ( 2 arc cos — — - — tt), wenn 4 ab — k 2 > 



J J y«y v /4«6 — >fc 2 V 2y^6 / 



1 (^ +v /^_4ai) 2 



= — log , wenn Ar — 4 «6 >■ 



yk 2 — -iab lti«^> 2 



/ dx / = — - sin (ax -j~ £?/) % = - , wenn 4 «6 — k 2 > 



./ ./ l/icy 1/4 «6 — £ 2 



' ' 



== , wenn k'~ — 4 ab >- 



Die Resultate der letztern Gleichung, wonach das Doppel-Integral eine discontinuirliche 

 Function ist, fand zuerst Cauchy in der erwähnten Abhandlung, ebenfalls mittelst unend- 



